Në një "sistem ekuacionesh", ju kërkohet të zgjidhni dy ose më shumë ekuacione njëkohësisht. Kur të dy ekuacionet kanë dy ndryshore të ndryshme, për shembull x dhe y, zgjidhja mund të duket e vështirë në fillim. Për fat të mirë, pasi të dini se çfarë duhet të bëni, thjesht mund të përdorni aftësitë tuaja algjebrike (dhe shkencën e llogaritjes së thyesave) për të zgjidhur problemin. Mësoni gjithashtu se si t'i vizatoni këto dy ekuacione nëse jeni një nxënës vizual, ose kërkohen nga mësuesi. Vizatimet do t'ju ndihmojnë të identifikoni lëndën ose të kontrolloni rezultatet e punës tuaj. Sidoqoftë, kjo metodë është më e ngadaltë se metodat e tjera dhe nuk mund të përdoret për të gjitha sistemet e ekuacioneve.
Hapi
Metoda 1 nga 3: Përdorimi i metodës së zëvendësimit
Hapi 1. Zhvendosni ndryshoret në anën e kundërt të ekuacionit
Metoda e zëvendësimit fillon duke "gjetur vlerën e x" (ose ndonjë ndryshore tjetër) në një nga ekuacionet. Për shembull, thonë se ekuacioni i problemit është 4x + 2y = 8 dhe 5x + 3y = 9Me Filloni duke punuar në ekuacionin e parë. Rirregulloni ekuacionin duke zbritur 2y nga të dy anët. Kështu, ju merrni 4x = 8 - 2y.
Kjo metodë shpesh përdor thyesa në fund. Nëse nuk ju pëlqen numërimi i thyesave, provoni metodën e eliminimit më poshtë
Hapi 2. Ndani të dy anët e ekuacionit për të "gjetur vlerën e x"
Pasi termi x (ose çfarëdo ndryshoreje që përdorni) të jetë vetëm në njërën anë të ekuacionit, ndani të dy anët e ekuacionit me koeficientët në mënyrë që të mbetet vetëm variabli. Si nje shembull:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Hapi 3. Lidheni vlerën x nga ekuacioni i parë në ekuacionin e dytë
Sigurohuni që ta lidhni në ekuacionin e dytë, në vend të atij që sapo keni punuar. Zëvendësoni (zëvendësoni) ndryshoren x në ekuacionin e dytë. Kështu, ekuacioni i dytë tani ka vetëm një ndryshore. Si nje shembull:
- Eshte e ditur x = 2 - y.
- Ekuacioni juaj i dytë është 5x + 3y = 9.
- Pas ndërrimit të ndryshores x në ekuacionin e dytë me vlerën x nga ekuacioni i parë, marrim "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Hapi 4. Zgjidhni ndryshoret e mbetura
Tani, ekuacioni juaj ka vetëm një ndryshore. Llogaritni ekuacionin me operacionet algjebrike të zakonshme për të gjetur vlerën e ndryshores. Nëse të dy variablat anulojnë njëri -tjetrin, kaloni direkt në hapin e fundit. Përndryshe, do të merrni një vlerë për njërën nga variablat:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Nëse nuk e kuptoni këtë hap, mësoni si të shtoni thyesa.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Hapi 5. Përdorni përgjigjen e marrë për të gjetur vlerën e vërtetë të x në ekuacionin e parë
Mos u ndalni akoma sepse llogaritjet tuaja nuk janë bërë ende. Ju duhet të lidhni përgjigjen e marrë në ekuacionin e parë për të gjetur vlerën e ndryshoreve të mbetura:
- Eshte e ditur y = -2
- Një nga ekuacionet në ekuacionin e parë është 4x + 2y = 8Me (Ju mund të përdorni njërën prej tyre.)
- Zëvendësoni ndryshoren y me -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Hapi 6. Di se çfarë të bësh nëse dy variablat anulojnë njëri -tjetrin
Kur hyni x = 3y+2 ose një përgjigje e ngjashme për ekuacionin e dytë, që do të thotë se po përpiqeni të merrni një ekuacion që ka vetëm një ndryshore. Ndonjëherë, ju thjesht merrni ekuacionin pa e ndryshueshme. Kontrolloni dy herë punën tuaj dhe sigurohuni që e keni vendosur (riorganizuar) ekuacionin një në ekuacionin dy, në vend që të ktheheni në ekuacionin e parë. Kur të jeni të sigurtë se nuk keni bërë asgjë të gabuar, shkruani një nga rezultatet e mëposhtme:
- Nëse ekuacioni nuk ka ndryshore dhe nuk është i vërtetë (për shembull, 3 = 5), ky problem nuk kane pergjigjeMe (Kur kjo kuptohet, këto dy ekuacione janë paralele dhe nuk takohen kurrë.)
- Nëse ekuacioni nuk ka ndryshore dhe Korrekt, (p.sh. 3 = 3), që do të thotë se pyetja ka përgjigje të pakufizuaraMe Ekuacioni një është saktësisht i njëjtë me ekuacionin dy. (Kur përshkruhen, këto dy ekuacione janë e njëjta linjë.)
Metoda 2 nga 3: Përdorimi i Metodës së Eliminimit
Hapi 1. Gjeni variablat reciprokisht ekskluzive
Ndonjëherë, ekuacioni në problem është tashmë anuloni njëri -tjetrin kur shtohet. Për shembull, nëse bëni ekuacionin 3x + 2y = 11 dhe 5x - 2y = 13, termat "+2y" dhe "-2y" do të anulojnë njëri-tjetrin dhe do të heqin ndryshoren "y" nga ekuacioni. Shikoni ekuacionin në problem dhe shihni nëse ka variabla që anulojnë njëri -tjetrin, si në shembullin. Nëse jo, vazhdoni në hapin tjetër.
Hapi 2. Shumëzoni ekuacionin me një në mënyrë që të hiqet një ndryshore
(Kaloni këtë hap nëse variablat tashmë anulojnë njëri -tjetrin.) Nëse ekuacioni nuk ka variabla që anulohen vetë, ndryshoni një nga ekuacionet në mënyrë që ata të anulojnë njëri -tjetrin. Shikoni shembujt e mëposhtëm në mënyrë që t'i kuptoni me lehtësi:
- Ekuacionet në problem janë 3x - y = 3 dhe - x + 2y = 4.
- Le të ndryshojmë ekuacionin e parë në mënyrë që ndryshorja y anuloni njëri -tjetrin. (Mund të përdorni variablin xMe Përgjigja përfundimtare e marrë do të jetë e njëjtë.)
- E ndryshueshme - y në ekuacionin e parë duhet të eliminohet nga + 2v në ekuacionin e dytë. Si, shumohen - y me 2.
- Shumëzoni të dy anët e ekuacionit me 2, si më poshtë: 2 (3x - y) = 2 (3), kështu që 6x - 2y = 6Me Tani, fisi - 2v do të anulojnë njëri -tjetrin me +2v në ekuacionin e dytë.
Hapi 3. Kombinoni dy ekuacionet
Truku është që të shtoni anën e djathtë të ekuacionit të parë në anën e djathtë të ekuacionit të dytë dhe të shtoni anën e majtë të ekuacionit të parë në anën e majtë të ekuacionit të dytë. Nëse bëhet si duhet, njëra prej variablave do të anulojë njëri -tjetrin. Le të përpiqemi të vazhdojmë llogaritjen nga shembulli i mëparshëm:
- Dy ekuacionet tuaja janë 6x - 2y = 6 dhe - x + 2y = 4.
- Shtoni anët e majta të dy ekuacioneve: 6x - 2y - x + 2y =?
- Shtoni anët e djathta të dy ekuacioneve: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Hapi 4. Merrni vlerën e fundit të ndryshueshme
Thjeshtoni ekuacionin tuaj të përbërë dhe punoni me algjebër standarde për të marrë vlerën e ndryshores së fundit. Nëse, pas thjeshtimit, ekuacioni nuk ka ndryshore, vazhdoni në hapin e fundit në këtë seksion.
Përndryshe, do të merrni një vlerë për njërën nga ndryshoret. Si nje shembull:
- Eshte e ditur 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Variablat e grupit x dhe y së bashku: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Thjeshtoni ekuacionin: 5x = 10
- Gjeni vlerën x: (5x)/5 = 10/5, për të marrë x = 2.
Hapi 5. Gjeni vlerën e një ndryshoreje tjetër
Ju keni gjetur vlerën e njërës ndryshore, por çfarë ndodh me tjetrën? Futni përgjigjen tuaj në një nga ekuacionet për të gjetur vlerën e ndryshores së mbetur. Si nje shembull:
- Eshte e ditur x = 2, dhe një nga ekuacionet në problem është 3x - y = 3.
- Zëvendësoni ndryshoren x me 2: 3 (2) - y = 3.
- Gjeni vlerën e y në ekuacion: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, kështu që 6 = 3 + y
- 3 = y
Hapi 6. Dini se çfarë të bëni kur dy variablat anulojnë njëri -tjetrin
Ndonjëherë, kombinimi i dy ekuacioneve rezulton në një ekuacion që nuk ka kuptim, ose nuk ju ndihmon të zgjidhni problemin. Rishikoni punën tuaj dhe nëse jeni të sigurt se nuk keni bërë asgjë të keqe, shkruani një nga dy përgjigjet e mëposhtme:
- Nëse ekuacioni i kombinuar nuk ka variabla dhe nuk është i vërtetë (për shembull, 2 = 7), ky problem nuk kane pergjigjeMe Kjo përgjigje vlen për të dy ekuacionet. (Kur kjo kuptohet, këto dy ekuacione janë paralele dhe nuk takohen kurrë.)
- Nëse ekuacioni i kombinuar nuk ka ndryshore dhe Korrekt, (p.sh. 0 = 0), që do të thotë se pyetja ka përgjigje të pakufizuaraMe Këto dy ekuacione janë identike me njëra -tjetrën. (Kur përshkruhen, këto dy ekuacione janë e njëjta linjë.)
Metoda 3 nga 3: Vizatoni një Grafik të Ekuacioneve
Hapi 1. Kryeni këtë metodë vetëm kur udhëzohet
Nëse nuk përdorni një kompjuter ose një kalkulator grafik, kjo metodë mund të japë vetëm përgjigje të përafërta. Mësuesi ose libri juaj mësimor mund t'ju thotë që ta përdorni këtë metodë për të bërë zakon të vizatoni ekuacione si vija. Kjo metodë mund të përdoret gjithashtu për të kontrolluar përgjigjen në njërën nga metodat e mësipërme.
Ideja kryesore është që ju duhet të përshkruani dy ekuacionet dhe të gjeni pikën e tyre të kryqëzimit. Vlera e x dhe y në këtë pikë të kryqëzimit është përgjigja e problemit
Hapi 2. Gjeni vlerat y të të dy ekuacioneve
Mos i kombinoni dy ekuacionet dhe ndryshoni secilin ekuacion në mënyrë që formati të jetë "y = _x + _". Si nje shembull:
- Ekuacioni juaj i parë është 2x + y = 5Me Ndrysho në y = -2x + 5.
- Ekuacioni juaj i parë është - 3x + 6y = 0Me Ndrysho në 6y = 3x + 0, dhe thjeshtojeni në y = x + 0.
- Nëse dy ekuacionet tuaja janë saktësisht të njëjta, e gjithë vija është "kryqëzimi" i dy ekuacioneve. Shkruaj përgjigje të pakufizuara si pergjigje.
Hapi 3. Vizatoni akset koordinative
Vizatoni një vijë vertikale "boshti y" dhe një vijë horizontale "boshti x" në letrën e grafikut. Duke filluar në pikën ku dy boshtet kryqëzohen (0, 0), shënoni etiketat e numrave 1, 2, 3, 4, e kështu me radhë duke treguar vazhdimisht në drejtim të boshtit y, dhe duke treguar në të djathtë në boshtin x Me Pas kësaj, shënoni etiketat e numrave -1, -2, dhe kështu me radhë duke treguar në mënyrë sekuenciale poshtë në boshtin y, dhe duke treguar në të majtë në boshtin x.
- Nëse nuk keni letër grafike, përdorni një vizore për t'u siguruar që distanca midis secilit numër është saktësisht e njëjtë.
- Nëse jeni duke përdorur numra të mëdhenj ose numra dhjetorë, ne rekomandojmë shkallëzimin e grafikut tuaj (p.sh. 10, 20, 30 ose 0, 1, 0, 2, 0, 3 në vend të 1, 2, 3).
Hapi 4. Vizatoni pikën e ndërprerjes y për secilin ekuacion
Nëse ekuacioni është në formë y = _x + _, mund të filloni të vizatoni një grafik duke bërë pikën ku vija e ekuacionit kryqëzohet me boshtin y. Vlera e y është gjithmonë e njëjtë me numrin e fundit në ekuacion.
-
Duke vazhduar shembullin e mëparshëm, rreshti i parë (y = -2x + 5) kryqëzon boshtin y në
Hapi 5. Me rreshti i dytë (y = x + 0) kryqëzon boshtin y në 0Me (Këto pika janë të shkruara si (0, 5) dhe (0, 0) në grafik.)
- Nëse është e mundur, vizatoni rreshtat e parë dhe të dytë me lapsa ose lapsa me ngjyra të ndryshme.
Hapi 5. Përdorni pjerrësinë për të vazhduar vijën
Në formatin e ekuacionit y = _x + _, numri para x tregon "nivelin e pjerrësisë" të vijës. Sa herë që x rritet me një, vlera e y do të rritet me numrin e niveleve të pjerrësisë. Përdoreni këtë informacion për të gjetur pikat për secilën rresht në grafik kur x = 1. (Ju gjithashtu mund të futni x = 1 në çdo ekuacion dhe të gjeni vlerën e y.)
- Duke vazhduar shembullin e mëparshëm, rreshtin y = -2x + 5 ka një pjerrësi të - 2Me Në pikën x = 1, vija lëviz poshtë me 2 nga pika x = 0. Vizatoni një vijë që lidh (0, 5) me (1, 3).
- Linjë y = x + 0 ka një pjerrësi të ½Me Në x = 1, vija lëviz hipur nga pika x = 0. Vizatoni një vijë që lidh (0, 0) me (1,).
- Nëse dy drejtime kanë pjerrësi të njëjtë, të dy nuk do të ndërpriten kurrë. Kështu, ky sistem ekuacionesh nuk ka përgjigje. Shkruaj pa pergjigje si pergjigje.
Hapi 6. Vazhdoni lidhjen e linjave derisa të dy linjat të ndërpriten
Ndaloni punën dhe hidhini një sy grafikut tuaj. nëse të dy linjat kanë kaluar njëra -tjetrën, vazhdoni në hapin tjetër. Nëse jo, merrni një vendim bazuar në pozicionin e dy rreshtave tuaj:
- Nëse të dy linjat afrohen me njëra -tjetrën, vazhdoni të lidhni pikat e shiritave tuaj.
- Nëse të dy linjat largohen nga njëra -tjetra, kthehuni prapa dhe lidhni pikat në drejtime të kundërta, duke filluar nga x = 1.
- Nëse dy rreshtat janë shumë larg njëra -tjetrës, provoni të hidheni dhe lidhni pikat më larg, për shembull x = 10.
Hapi 7. Gjeni përgjigjen në pikën e kryqëzimit
Pasi të dy linjat kryqëzohen, vlera e x dhe y në atë pikë është përgjigja e problemit tuaj. Nëse jeni me fat, përgjigja do të jetë një numër i plotë. Për shembull, në shembullin tonë të dy linjat kryqëzohen në pikë (2, 1) kështu që përgjigja është x = 2 dhe y = 1Me Në disa sisteme ekuacionesh, pika ku kryqëzohet vija është midis dy numrave të plotë, dhe nëse grafiku nuk është shumë i saktë, është e vështirë të përcaktosh se ku janë vlerat x dhe y në pikën e kryqëzimit. Nëse lejohet, mund të shkruani "x është midis 1 dhe 2" si përgjigje, ose të përdorni metodën e zëvendësimit ose eliminimit për të gjetur përgjigjen.
Këshilla
- Ju mund ta kontrolloni punën tuaj duke i lidhur përgjigjet në ekuacionin origjinal. Nëse ekuacioni del i vërtetë (p.sh. 3 = 3), kjo do të thotë që përgjigja juaj është e saktë.
- Kur përdorni metodën e eliminimit, ndonjëherë ju duhet të shumëzoni ekuacionin me një numër negativ në mënyrë që variablat të anulojnë njëri -tjetrin.
