Në matematikë, faktorizimi është një mënyrë për të gjetur numra ose shprehje të cilat kur shumëzohen do të prodhojnë një numër ose ekuacion të caktuar. Faktorizimi është një aftësi e dobishme për të mësuar zgjidhjen e problemeve të thjeshta të algjebrës; aftësia për të faktorizuar mirë, bëhet e rëndësishme kur kemi të bëjmë me ekuacionet kuadratike dhe format e tjera të polinomeve. Faktorizimi mund të përdoret për të thjeshtuar shprehjet algjebrike për t'i bërë zgjidhjet e tyre më të lehta. Faktorizimi madje mund t'ju japë aftësinë për të eleminuar disa përgjigje të mundshme, shumë më shpejt sesa t'i zgjidhni ato me dorë.
Hapi
Metoda 1 nga 3: Faktorizimi i numrave dhe shprehjeve të thjeshta algjebrike
Hapi 1. Kuptoni përkufizimin e faktorizimit kur zbatohet në numrat e vetëm
Faktorizimi është një koncept i thjeshtë, por në praktikë, mund të jetë sfidues kur zbatohet në ekuacione komplekse. Prandaj, është më e lehtë t'i qasemi konceptit të faktorizimit duke filluar me numra të thjeshtë, pastaj duke vazhduar në ekuacione të thjeshta, para se të kalojmë përfundimisht në aplikime më komplekse. Faktorët e një numri janë numrat të cilët kur shumëzohen prodhojnë numrin. Për shembull, faktorët e 12 janë 1, 12, 2, 6, 3 dhe 4, sepse 1 × 12, 2 × 6 dhe 3 × 4 janë të barabartë me 12.
- Një mënyrë tjetër për të menduar është se faktorët e një numri janë numra që mund të ndahen në mënyrë të barabartë në numër.
-
A mund t'i gjeni të gjithë faktorët e numrit 60? Ne e përdorim numrin 60 për qëllime të ndryshme (minuta në orë, sekonda në minutë, etj.) Sepse mund të ndahet me shumë numra të tjerë.
Faktorët e 60 janë 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dhe 60
Hapi 2. Kuptoni që shprehjet e ndryshueshme gjithashtu mund të faktorizohen
Ashtu si vetë numrat mund të faktorizohen, variablat me koeficientët e numrave gjithashtu mund të faktorizohen. Për ta bërë këtë, thjesht gjeni faktorët e koeficientëve të ndryshueshëm. Të dish se si të faktorizosh një ndryshore është shumë e dobishme për thjeshtimin e ekuacioneve algjebrike që përfshijnë atë ndryshore.
-
Për shembull, ndryshorja 12x mund të shkruhet si produkt i faktorëve 12 dhe x. Ne mund të shkruajmë 12x si 3 (4x), 2 (6x), etj., Duke përdorur cilindo faktor prej 12 funksionojnë më mirë për qëllimet tona.
Ne madje mund të faktorizojmë 12 herë shumë herë. Me fjalë të tjera, ne nuk duhet të ndalemi në 3 (4x) ose 2 (6x) - ne mund të faktorizojmë 4x dhe 6x për të prodhuar 3 (2 (2x) dhe 2 (3 (2x). Sigurisht, këto dy shprehje janë ekuivalente
Hapi 3. Zbatoni vetinë shpërndarëse të shumëzimit në ekuacionet algjebrike të faktorëve
Duke përdorur njohuritë tuaja se si të faktorizoni numrat e vetëm dhe ndryshoret me koeficientë, mund të thjeshtoni ekuacionet e thjeshta algjebrike duke gjetur faktorët që numrat dhe ndryshoret ndajnë në ekuacionet algjebrike. Zakonisht, për të thjeshtuar një ekuacion, ne përpiqemi të gjejmë faktorin më të madh të përbashkët. Ky proces thjeshtimi është i mundur për shkak të vetisë shpërndarëse të shumëzimit, e cila vlen për çdo numër a, b dhe c. a (b + c) = ab + ac.
- Le të provojmë një pyetje shembull. Për të faktorizuar ekuacionin algjebrik 12x + 6, së pari, le të përpiqemi të gjejmë faktorin më të madh të përbashkët prej 12x dhe 6. 6 është numri më i madh që mund të ndajë në mënyrë të barabartë 12x dhe 6, kështu që ne mund të thjeshtojmë ekuacionin në 6 (2x + 1) Me
- Ky proces vlen edhe për ekuacionet me numra dhe thyesa negative. Për shembull, x/2 + 4, mund të thjeshtohet në 1/2 (x + 8), dhe -7x + -21 mund të faktorizohet në -7 (x + 3).
Metoda 2 nga 3: Faktorizimi i ekuacioneve kuadratike
Hapi 1. Sigurohuni që ekuacioni të jetë në formë kuadratike (sëpatë2 + bx + c = 0).
Ekuacionet kuadratike kanë formën e sëpatës2 + bx + c = 0, ku a, b dhe c janë konstante të numrit dhe jo të barabartë me 0 (vini re se a mund të jetë e barabartë me 1 ose -1). Nëse keni një ekuacion që ka një ndryshore (x) që ka një term x në fuqinë e dy ose më shumë, ju zakonisht i lëvizni këto terma në ekuacion duke përdorur veprime të thjeshta algjebrike për të marrë 0 në të dyja anët e shenjës dhe boshtit të barazimit.2, etj ne anen tjeter.
- Për shembull, le të mendojmë për një ekuacion algjebrik. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 mund të thjeshtohet në x2 + 6x + 9 = 0, e cila është forma katrore.
- Ekuacionet me fuqinë më të madhe të x, siç është x3, x4, etj nuk janë ekuacione kuadratike. Këto ekuacione janë ekuacione kub, në fuqinë e katërt, dhe kështu me radhë, përveç nëse ekuacioni mund të thjeshtohet për të hequr këto terma x me fuqi më të mëdha se 2.
Hapi 2. Në një ekuacion kuadratik, ku a = 1, faktorizoni në (x+d) (x+e), ku d × e = c dhe d+e = b
Nëse ekuacioni juaj kuadratik është në formën x2 + bx + c = 0 (me fjalë të tjera, nëse koeficienti i termit x2 = 1), është e mundur (por jo e garantuar) që mund të përdoret një metodë mjaft e thjeshtë e stenografisë për të faktuar ekuacionin. Gjeni dy numra të cilët kur shumëzohen japin c dhe shtohet për të prodhuar b. Pasi të keni kërkuar për këta dy numra d dhe e, vendosini në shprehjen e mëposhtme: (x+d) (x+e)Me Këto dy terma, kur shumëzohen, ju japin ekuacionin tuaj kuadratik - me fjalë të tjera, ata janë faktorët e ekuacionit tuaj kuadratik.
- Për shembull, le të mendojmë për ekuacionin kuadratik x2 + 5x + 6 = 0. 3 dhe 2 shumëzohen për të dhënë 6 dhe gjithashtu shtohen për të dhënë 5, kështu që ne mund ta thjeshtojmë këtë ekuacion në (x + 3) (x + 2).
-
Dallimi i vogël në këtë metodë themelore të stenografisë qëndron në ndryshimet në ngjashmëritë në vetvete:
- Nëse ekuacioni kuadratik është në formën x2-bx+c, përgjigjja juaj është në këtë formë: (x - _) (x - _).
- Nëse ekuacioni është në formën x2+ bx + c, përgjigjja juaj duket kështu: (x + _) (x + _).
- Nëse ekuacioni është në formën x2-bx -c, përgjigjja juaj është në formën (x + _) (x -_).
- Shënim: numrat në vendet bosh mund të jenë thyesa ose dhjetore. Për shembull, ekuacioni x2 + (21/2) x + 5 = 0 faktorizohet në (x + 10) (x + 1/2).
Hapi 3. Nëse është e mundur, faktorizoni përmes kontrolleve
Besoni apo jo, për ekuacionet kuadratike të pakomplikuara, një nga metodat e lejuara të faktorizimit është të shqyrtoni problemin, pastaj të konsideroni përgjigjet e mundshme derisa të gjeni përgjigjen e saktë. Kjo metodë njihet edhe si faktoring përmes ekzaminimit. Nëse ekuacioni është në formën bosht2+bx +c dhe a> 1, përgjigja juaj e faktorit është në formën (dx +/- _) (ish +/- _), ku d dhe e janë konstante të numrave jozero të cilët kur shumëzohen japin a. As d as e (ose të dyja) nuk mund të jenë 1, edhe pse nuk ka pse të jetë. Nëse të dy janë 1, në thelb po përdorni metodën e stenografisë të përshkruar më sipër.
Le të mendojmë për një problem shembull. 3x2 - 8x + 4 duket e vështirë në fillim. Sidoqoftë, sapo të kuptojmë se 3 ka vetëm dy faktorë (3 dhe 1), ky ekuacion bëhet më i lehtë sepse e dimë se përgjigja jonë duhet të jetë e formës (3x +/- _) (x +/- _). Në këtë rast, shtimi i -2 në të dyja boshllëqet jep përgjigjen e saktë. -2 × 3x = -6x dhe -2 × x = -2x. -6x dhe -2x shtohen deri në -8x. -2 × -2 = 4, kështu që ne mund të shohim që termat e faktorizuar në kllapa kur shumëzohen prodhojnë ekuacionin origjinal.
Hapi 4. Zgjidhni duke plotësuar katrorin
Në disa raste, ekuacionet kuadratike mund të faktorizohen shpejt dhe lehtë duke përdorur identitete të veçanta algjebrike. Çdo ekuacion kuadratik në formën x2 + 2xh + h2 = (x + h)2Me Pra, nëse në ekuacionin tuaj vlera juaj b është dyfishi i rrënjës katrore të vlerës tuaj c, ekuacioni juaj mund të faktorizohet në (x + (rrënja (c)))2.
Për shembull, ekuacioni x2 +6x+9 ka këtë formë. 32 është 9 dhe 3 × 2 është 6. Pra, ne e dimë që forma faktore e këtij ekuacioni është (x + 3) (x + 3), ose (x + 3)2.
Hapi 5. Përdorni faktorë për të zgjidhur ekuacionet kuadratike
Pavarësisht se si e keni faktorizuar ekuacionin tuaj kuadratik, pasi të jetë faktuar ekuacioni, mund të gjeni përgjigje të mundshme për vlerën e x duke e bërë secilin faktor të barabartë me zero dhe duke i zgjidhur ato. Meqenëse jeni duke kërkuar vlerën e x që e bën ekuacionin tuaj të barabartë me zero, vlera e x që e bën çdo faktor të barabartë me zero është një përgjigje e mundshme për ekuacionin tuaj kuadratik.
Le të kthehemi në ekuacionin x2 + 5x + 6 = 0. Ky ekuacion faktorizohet në (x + 3) (x + 2) = 0. Nëse secili faktor është i barabartë me 0, të gjithë ekuacionet janë të barabartë me 0, kështu që përgjigjet tona të mundshme për x janë numrat- një numër që bën (x + 3) dhe (x + 2) të barabarta 0. Këta numra janë përkatësisht -3 dhe -2.
Hapi 6. Kontrolloni përgjigjet tuaja - disa nga përgjigjet mund të jenë mashtruese
Kur gjeni përgjigjet e mundshme për x, futini përsëri në ekuacionin tuaj origjinal për të parë nëse përgjigja është e saktë. Ndonjëherë, përgjigjet që gjeni nuk e bëjnë ekuacionin origjinal të barabartë me zero kur ri-futeni. Ne e quajmë këtë përgjigje devijuese dhe e injorojmë.
-
Le të vendosim -2 dhe -3 në x2 + 5x + 6 = 0. Së pari, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Kjo përgjigje është e saktë, kështu që -2 është përgjigja e saktë.
-
Tani, le të provojmë -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Kjo përgjigje është gjithashtu e saktë, kështu që -3 është përgjigja e saktë.
Metoda 3 nga 3: Faktorizimi i ekuacioneve të tjera
Hapi 1. Nëse ekuacioni shprehet në formën a2-b2, faktor në (a+b) (a-b).
Ekuacionet me dy ndryshore kanë faktorë të ndryshëm nga ekuacioni bazë kuadratik. Për ekuacionin a2-b2 çdo gjë ku a dhe b nuk janë të barabartë me 0, faktorët e ekuacionit janë (a+b) (a-b).
Për shembull, ekuacioni 9x2 - 4 vjet2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Hapi 2. Nëse ekuacioni shprehet në formën a2+2ab+b2, faktor në (a+b)2.
Vini re se, nëse trinomi është i formës a2-2ab+b2, faktorët e formës janë paksa të ndryshëm: (a-b)2.
Ekuacioni 4x2 + 8xy + 4y2 mund të rishkruhet si 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2Me Tani, ne mund të shohim se forma është e saktë, kështu që ne mund të jemi të sigurt se faktorët e ekuacionit tonë janë (2x + 2y)2
Hapi 3. Nëse ekuacioni shprehet në formën a3-b3, faktori në (a-b) (a2+ab+b2).
Më në fund, tashmë u përmend se ekuacionet kub dhe fuqitë edhe më të larta, mund të faktorizohen, edhe pse procesi i faktorizimit shpejt bëhet shumë i ndërlikuar.
Për shembull, 8 herë3 - 27 vjeç3 faktorizuar në (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Këshilla
- a2-b2 mund të faktorizohet, a2+b2 nuk mund të faktorizohet.
- Mos harroni se si të faktorizoni një konstante. Kjo mund të ndihmojë.
- Kini kujdes me thyesat në procesin e faktorizimit dhe punoni me thyesat në mënyrë korrekte dhe me kujdes.
- Nëse keni një trinom të formës x2+ bx+ (b/2)2, faktori i formës është (x+(b/2))2Me (Ju mund të hasni në këtë situatë kur të përfundoni sheshin.)
- Mos harroni se a0 = 0 (vetia e produktit të zeros).
