Shpejtësia përcaktohet si shpejtësia e një objekti në një drejtim të caktuar. Në shumë situata, për të gjetur shpejtësinë, mund të përdorim ekuacionin v = s/t, ku v është e barabartë me shpejtësinë, s është e barabartë me distancën totale që objekti ka lëvizur nga pozicioni i tij fillestar dhe t është e barabartë me kohën. Sidoqoftë, kjo metodë jep vetëm vlerën "mesatare" të shpejtësisë së objektit mbi zhvendosjen e tij. Duke përdorur gur, mund të llogarisni shpejtësinë e një objekti në çdo pikë përgjatë zhvendosjes së tij. Kjo vlerë quhet "shpejtësia e menjëhershme" dhe mund të llogaritet me ekuacionin v = (ds)/(dt), ose, me fjalë të tjera, është derivat i ekuacionit për shpejtësinë mesatare të objektit.
Hapi
Metoda 1 nga 3: Llogaritja e Shpejtësisë së Menjëhershme
Hapi 1. Filloni me ekuacionin për shpejtësinë e zhvendosjes së objektit
Për të marrë vlerën e shpejtësisë së menjëhershme të një objekti, së pari duhet të kemi një ekuacion që përshkruan pozicionin e tij (në aspektin e zhvendosjes së tij) në një pikë të caktuar kohore. Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të ketë një ndryshore s (e cila qëndron vetëm) në njërën anë, dhe t nga ana tjetër (por jo domosdoshmërisht e pavarur), si kjo:
s = -1.5t2+10t+4
-
Në ekuacion, ndryshoret janë:
-
-
Zhvendosja = s Me Kjo është distanca e përshkuar nga objekti nga pika e tij e fillimit. Për shembull, nëse një objekt udhëton 10 metra përpara dhe 7 metra mbrapa, atëherë distanca totale e përshkuar është 10 - 7 = 3 metra (jo 10 + 7 = 17 metra).
-
Koha = t Me Ky variabël është vetë-shpjegues. Zakonisht shprehet në sekonda. # Merrni derivatin e ekuacionit. Derivati i një ekuacioni është një ekuacion tjetër që mund të japë vlerën e pjerrësisë nga një pikë e caktuar. Për të gjetur derivatin e formulës për zhvendosjen e një objekti, nxirrni funksionin duke përdorur rregullin e përgjithshëm të mëposhtëm: Nëse y = a*x , Derivat = a*n*xn-1Me Ky rregull zbatohet për çdo komponent që është në anën "t" të ekuacionit.
Llogarit shpejtësinë e menjëhershme Hapi 2
-
-
- Me fjalë të tjera, filloni duke zbritur anën "t" të ekuacionit nga e majta në të djathtë. Sa herë që arrini vlerën "t", zbritni 1 nga vlera e eksponentit dhe shumëzoni tërësinë me eksponentin origjinal. Çdo konstante (variablat që nuk përmbajnë "t") do të humbasin sepse shumëzohen me 0. Ky proces nuk është aq i vështirë sa mund të mendohet, le të nxjerrim ekuacionin në hapin e mësipërm si shembull:
s = -1.5t2+10t+4
(2) -1.5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Hapi 2. Zëvendësoni ndryshoren "s" me "ds/dt
"Për të treguar se ekuacioni juaj i ri është derivat i ekuacionit të mëparshëm, zëvendësoni" s "me" ds/dt ". Teknikisht, ky shënim do të thotë" derivat i s në lidhje me t. "Një mënyrë më e thjeshtë për ta kuptuar këtë është se ds /dt është vlera e pjerrësisë (pjerrësisë) në çdo pikë të ekuacionit të parë, për shembull, për të përcaktuar pjerrësinë e një linje të nxjerrë nga ekuacioni s = -1.5t2 + 10t + 4 në t = 5, ne mund ta lidhim vlerën "5" në ekuacionin derivativ.
- Në shembullin e përdorur, ekuacioni i parë derivativ tani do të duket kështu:
ds/sec = -3t + 10
Hapi 3. Lidheni vlerën e t në ekuacionin e ri për të marrë vlerën e shpejtësisë së menjëhershme
Tani që keni ekuacionin derivativ, është e lehtë të gjesh shpejtësinë e menjëhershme në çdo pikë. E tëra çfarë ju duhet të bëni është të zgjidhni një vlerë për t dhe ta lidhni atë në ekuacionin tuaj derivativ. Për shembull, nëse doni të gjeni shpejtësinë e menjëhershme në t = 5, mund ta zëvendësoni vlerën e t me "5" në ekuacionin derivativ ds/dt = -3 + 10. Pastaj zgjidhni ekuacionin si ky:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3 (5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 metra/sekondë
Vini re se njësia e përdorur më sipër është "metër/sekondë". Për shkak se ajo që ne llogarisim është zhvendosja në metra dhe koha në sekonda (sekonda) dhe shpejtësia në përgjithësi është zhvendosje në një kohë të caktuar, kjo njësi është e përshtatshme për t'u përdorur
Metoda 2 nga 3: Vlerësimi Grafik i Shpejtësisë së Menjëhershme
Hapi 1. Vizatoni një grafik të zhvendosjes së objektit me kalimin e kohës
Në pjesën e mësipërme, derivati përmendet si formula për gjetjen e pjerrësisë në një pikë të caktuar për ekuacionin që po nxirrni. Në fakt, nëse përfaqësoni zhvendosjen e një objekti si një vijë në një grafik, "pjerrësia e drejtëzës në të gjitha pikat është e barabartë me vlerën e shpejtësisë së saj të menjëhershme në atë pikë".
- Për të përshkruar zhvendosjen e një objekti, përdorni x për të përfaqësuar kohën dhe y për të përfaqësuar zhvendosjen. Pastaj vizatoni pikat, duke futur vlerën e t në ekuacionin tuaj, duke marrë kështu vlerën e s për grafikun tuaj, shënoni t, s në grafik si (x, y).
- Vini re se grafiku juaj mund të shtrihet nën boshtin x. Nëse vija që përfaqëson lëvizjen e objektit tuaj arrin nën boshtin x, kjo do të thotë që objekti ka lëvizur prapa nga pozicioni i tij fillestar. Në përgjithësi, grafiku juaj nuk do të arrijë në pjesën e pasme të boshtit y - sepse ne nuk po matim shpejtësinë e një objekti që lëviz në të kaluarën!
Hapi 2. Zgjidhni një pikë ngjitur P dhe Q në rresht
Për të marrë pjerrësinë e vijës në një pikë P, ne mund të përdorim një truk të quajtur "marrja e kufirit". Marrja e kufirit përfshin dy pika (P dhe Q, një pikë aty pranë) në vijën e lakuar dhe gjetjen e pjerrësisë së vijës duke i lidhur ato shumë herë derisa distancat P dhe Q të afrohen.
Le të themi se linja e zhvendosjes së objektit përmban vlerat (1, 3) dhe (4, 7). Në këtë rast, nëse duam të gjejmë pjerrësinë në pikën (1, 3), mund të përcaktojmë (1, 3) = P dhe (4, 7) = Q.
Hapi 3. Gjeni pjerrësinë midis P dhe Q
Pjerrësia midis P dhe Q është ndryshimi në vlerat y për P dhe Q përgjatë ndryshimit të vlerës së boshtit x për P dhe Q. Me fjalë të tjera, H = (yPyetje - yP)/(xPyetje - xP), ku H është pjerrësia midis dy pikave. Në shembullin tonë, vlera e pjerrësisë midis P dhe Q është
H = (yPyetje- yP)/(xPyetje- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Hapi 4. Përsëriteni disa herë, duke e lëvizur Q më afër P
Qëllimi juaj është të zvogëloni distancën midis P dhe Q që të ngjasojë me një pikë. Sa më afër distancës midis P dhe Q, aq më e afërt është pjerrësia e vijës në pikën P. Bëjeni këtë disa herë me ekuacionin e përdorur si shembull, duke përdorur pikat (2, 4.8), (1.5, 3.95) dhe (1.25, 3.49) si Q dhe pika e fillimit (1, 3) si P:
Q = (2, 4.8):
H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1.5, 3.95):
H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
H = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1.25, 3.49):
H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
H = (.49)/(.. 25) = 1.96
Hapi 5. Vlerësoni pjerrësinë e vijës për një distancë shumë të vogël
Ndërsa Q i afrohet P -së, H afrohet gjithnjë e më shumë me vlerën e pjerrësisë së pikës P. Përfundimisht, kur arrin një vlerë shumë të vogël, H barazohet me pjerrësinë e P. Meqenëse ne nuk mund të masim ose llogarisim distanca shumë të vogla, ne mund të vlerësojmë pjerrësinë në P pasi të jetë e qartë nga pika që po përpiqemi.
- Në shembullin, ndërsa e afrojmë Q më P, marrim vlera 1.8, 1.9 dhe 1.96 për H. Meqenëse këta numra janë afër 2, mund të themi se 2 është pjerrësia e përafërt e P.
- Mos harroni se pjerrësia në çdo pikë të caktuar në vijë është e barabartë me derivatin e ekuacionit të drejtëzës. Meqenëse vija e përdorur tregon zhvendosjen e një objekti me kalimin e kohës, dhe sepse siç e pamë në pjesën e mëparshme, shpejtësia e menjëhershme e një objekti është derivat i zhvendosjes së tij në një pikë të caktuar, ne gjithashtu mund të themi se "2 metra/sekondë "është vlera e përafërt e shpejtësisë së menjëhershme në t = 1.
Metoda 3 nga 3: Shembull pyetjesh
Hapi 1. Gjeni vlerën e shpejtësisë së çastit në t = 4, nga ekuacioni i zhvendosjes s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Ky problem është i njëjtë me shembullin në pjesën e parë, përveç se ky ekuacion është një ekuacion kub, jo një ekuacion fuqie, kështu që ne mund ta zgjidhim këtë problem në të njëjtën mënyrë.
- Së pari, marrim derivatin e ekuacionit:
- Pastaj, futni vlerën e t (4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metra/sekondë
Hapi 2. Përdorni një vlerësim grafik për të gjetur shpejtësinë e menjëhershme në (1, 3) për ekuacionin e zhvendosjes s = 4t2 - t
Për këtë problem, ne do të përdorim (1, 3) si pikë P, por duhet të përcaktojmë një pikë tjetër ngjitur me atë pikë si pika Q. Atëherë ne vetëm duhet të përcaktojmë vlerën e H dhe të bëjmë një vlerësim.
- Së pari, gjeni vlerën e Q së pari në t = 2, 1.5, 1.1 dhe 1.01.
- Pastaj, përcaktoni vlerën e H:
- Meqenëse vlera e H është shumë afër 7, ne mund ta pohojmë atë 7 metra/sekondë është shpejtësia e përafërt e çastit në (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, kështu Q = (2, 14)
t = 1.5:
s = 4 (1.5)2 - (1.5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, kështu Q = (1.5, 7.5)
t = 1.1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, kështu Q = (1.1, 3.74)
t = 1.01:
s = 4 (1.01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, kështu Q = (1.01, 3.0704)
P = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Hapi 11.
Q = (1.5, 7.5):
H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
H = (4.5)/(. 5) =
Hapi 9.
Q = (1.1, 3.74):
H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(. 01) = 7.04
Këshilla
- Për të gjetur vlerën e nxitimit (ndryshimi i shpejtësisë me kalimin e kohës), përdorni metodën në pjesën e parë për të marrë ekuacionin për derivatin e funksionit të zhvendosjes. Pastaj krijoni përsëri ekuacionin e prejardhur, këtë herë nga ekuacioni juaj i prejardhur. Kjo do t'ju japë ekuacionin për të gjetur përshpejtimin në çdo kohë të caktuar, gjithçka që duhet të bëni është të futni vlerën tuaj kohore.
- Ekuacioni që lidh vlerën e Y (zhvendosjes) në X (kohë) mund të jetë shumë i thjeshtë, për shembull Y = 6x + 3. Në këtë rast, vlera e pjerrësisë është konstante, dhe nuk ka nevojë të gjendet derivati për ta llogaritur atë, ku sipas ekuacionit të drejtëzës, Y = mx + b do të jetë e barabartë me 6.
- Zhvendosja është e ngjashme me distancën, por ka një drejtim, kështu që zhvendosja është një madhësi vektoriale, ndërsa distanca është një madhësi shkallore. Vlera e zhvendosjes mund të jetë negative, por distanca do të jetë gjithmonë pozitive.
