3 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kubike

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-16 19:58

Kur gjeni për herë të parë ekuacionin kub (i cili është i formës së sëpatës ³ + bx ² + cx + d = 0), ndoshta ju mendoni se problemi do të jetë i vështirë për t'u zgjidhur. Por dijeni që zgjidhja e ekuacioneve kubike ka qenë në të vërtetë për shekuj! Kjo zgjidhje, e zbuluar nga matematikanët italianë Niccolò Tartaglia dhe Gerolamo Cardano në vitet 1500, është një nga formulat e para të njohura në Greqinë e lashtë dhe Romën. Zgjidhja e ekuacioneve kubike mund të jetë pak e vështirë, por me qasjen e duhur (dhe njohuri të mjaftueshme), edhe ekuacionet më të vështira kubike mund të zgjidhen.

Hapi

Metoda 1 nga 3: Zgjidhja duke përdorur ekuacionet kuadratike

Hapi 1. Kontrolloni nëse ekuacioni juaj kub ka një konstante

Siç u tha më lart, forma e ekuacionit kub është boshti ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, dhe vlera e d mund të jetë 0 pa ndikuar në formën e këtij ekuacioni kub; kjo në thelb do të thotë që ekuacioni kub jo gjithmonë duhet të përfshijë vlerën e bx ², cx, ose d të jetë një ekuacion kub. Për të filluar përdorimin e kësaj mënyre mjaft të lehtë për zgjidhjen e ekuacioneve kub, kontrolloni nëse ekuacioni juaj kub ka një konstante (ose një vlerë d). Nëse ekuacioni juaj nuk ka një konstante ose vlerë për d, atëherë mund të përdorni një ekuacion kuadratik për të gjetur përgjigjen e ekuacionit kub pas disa hapash.

Nga ana tjetër, nëse ekuacioni juaj ka një vlerë konstante, atëherë do t'ju duhet një zgjidhje tjetër. Shikoni hapat e mëposhtëm për qasje të tjera

Hapi 2. Faktoroni vlerën x nga ekuacioni kub

Meqenëse ekuacioni juaj nuk ka vlerë konstante, të gjithë përbërësit në të kanë ndryshoren x. Kjo do të thotë se kjo vlerë e x mund të faktorizohet jashtë ekuacionit për ta thjeshtuar atë. Bëni këtë hap dhe rishkruani ekuacionin tuaj kub në formën x (bosht ² + bx + c).

Për shembull, le të themi se ekuacioni kub origjinal këtu është 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Duke faktorizuar një ndryshore x nga ky ekuacion, marrim ekuacionin x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Hapi 3. Përdorni ekuacione kuadratike për të zgjidhur ekuacionet në kllapa

Ju mund të vini re se disa nga ekuacionet tuaja të reja, të mbyllura në kllapa, janë në formën e një ekuacioni kuadratik (sëpatë ² + bx + c). Kjo do të thotë që ne mund të gjejmë vlerën e nevojshme për ta bërë këtë ekuacion të barabartë me zero duke futur a, b dhe c në formulën e ekuacionit kuadratik ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Kryeni këto llogaritje për të gjetur dy përgjigje për ekuacionin tuaj kub.

• Në shembullin tonë, lidhni vlerat e a, b dhe c (3, -2, dhe 14, respektivisht) në ekuacionin kuadratik si më poshtë:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Përgjigje 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• Përgjigje 2:

  {2 - 12.8 i}/6

Hapi 4. Përdorni zero dhe përgjigjen tuaj ndaj ekuacionit tuaj kuadratik si përgjigje ndaj ekuacionit tuaj kub

Ekuacionet kuadratike do të kenë dy përgjigje, ndërsa ekuacionet kub kanë tre përgjigje. Ju tashmë dini dy nga tre përgjigje; të cilën e merrni nga pjesa "katrore" e ekuacionit në kllapa. Nëse ekuacioni juaj kub mund të zgjidhet me "faktorizim" si ky, përgjigjja juaj e tretë është pothuajse gjithmonë 0Me E sigurt! Ju sapo keni zgjidhur një ekuacion kub.

Arsyeja që e bën këtë metodë të funksionojë është fakti themelor se "çdo numër i shumëzuar me zero është i barabartë me zero". Kur e faktoni ekuacionin tuaj në formën x (bosht ² + bx + c) = 0, ju në thelb thjesht e ndani atë në dy "pjesë"; njëra pjesë është ndryshorja x në anën e majtë dhe pjesa tjetër është ekuacioni kuadratik në kllapa. Nëse njëra nga këto dy pjesë është zero, atëherë i gjithë ekuacioni gjithashtu do të jetë zero. Kështu, dy përgjigjet për ekuacionin kuadratik në kllapa, të cilat do ta bënin atë zero, janë përgjigjet e ekuacionit kub, si dhe 0 vetë - gjë që do ta bënte edhe pjesën në anën e majtë zero.

Metoda 2 nga 3: Gjetja e përgjigjeve të plota duke përdorur një listë faktorësh

Hapi 1. Sigurohuni që ekuacioni juaj kub të ketë një vlerë konstante

Ndërsa metodat e përshkruara më sipër janë mjaft të lehta për t'u përdorur sepse nuk keni nevojë të mësoni një teknikë të re llogaritëse për t'i përdorur ato, ato nuk do t'ju ndihmojnë gjithmonë të zgjidhni ekuacionet kub. Nëse ekuacioni juaj kub është i formës së sëpatës ³ + bx ² + cx + d = 0, ku vlera e d nuk është e barabartë me zero, metoda e "faktorizimit" më sipër nuk funksionon, kështu që do t'ju duhet të përdorni një nga metodat në këtë seksion për ta zgjidhur këtë.

Për shembull, le të themi se kemi ekuacionin 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Në këtë rast, për të marrë zero në anën e djathtë të ekuacionit, duhet të shtojmë 6 në të dy anët. Pas kësaj, ne do të marrim një ekuacion të ri 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, me një vlerë d = 6, kështu që ne nuk mund të përdorim metodën e "faktorizimit" si në metodën e mëparshme.

Hapi 2. Gjeni faktorët e a dhe d

Për të zgjidhur ekuacionin tuaj kub, filloni duke gjetur faktorin a (koeficienti x ³) dhe d (vlera konstante në fund të ekuacionit). Mos harroni, faktorët janë numra që mund të shumëzohen me njëri -tjetrin për të prodhuar një numër të caktuar. Për shembull, meqenëse mund të merrni 6 duke shumëzuar 6 × 1 dhe 2 × 3, 1, 2, 3 dhe 6 janë faktorë 6.

• Në problemin shembull që ne përdorim, a = 2 dhe d = 6. Faktori 2 është 1 dhe 2Me Ndërsa faktori 6 është 1, 2, 3 dhe 6.

  

  Hapi 3. Ndani faktorin a me faktorin d

  Tjetra, rendisni vlerat që merrni duke e ndarë secilin faktor të a me secilin faktor të d. Kjo llogaritje zakonisht rezulton në shumë vlera të pjesshme dhe disa numra të plotë. Vlera e plotë për të zgjidhur ekuacionin tuaj kub është një nga numrat e plotë të marrë nga llogaritja.

  Në ekuacionin tonë, ndani vlerën e faktorit a (1, 2) me faktorin d (1, 2, 3, 6) dhe merrni rezultatet e mëposhtme: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, dhe 2/3. Tjetra, shtoni vlera negative në listë dhe marrim: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 dhe -2/3Me Përgjigja për ekuacionin kub - i cili është një numër i plotë, është në listë.

  

  Hapi 4. Përdorni ndarjen sintetike për të kontrolluar me dorë përgjigjet tuaja

  Pasi të keni një listë vlerash si ajo e mësipërme, mund të kërkoni vlerat e numrave të plotë që janë përgjigjet e ekuacionit tuaj kub duke futur çdo numër të plotë me dorë dhe gjeni se cila vlerë kthehet zero. Sidoqoftë, nëse nuk doni të shpenzoni kohë duke e bërë këtë, ekziston një mënyrë për ta bërë atë më shpejt, domethënë me një llogaritje të quajtur ndarje sintetike. Në thelb, ju do të ndani vlerën tuaj të plotë me koeficientët origjinalë të a, b, c dhe d në ekuacionin tuaj kub. Nëse pjesa e mbetur është zero, atëherë kjo vlerë është një nga përgjigjet e ekuacionit tuaj kub.

  • Ndarja sintetike është një temë komplekse - shihni lidhjen më poshtë për më shumë informacion. Këtu keni një shembull se si të gjeni një nga përgjigjet e ekuacionit tuaj kub me ndarjen sintetike:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Meqenëse marrim rezultatin përfundimtar të barabartë me 0, ne e dimë se një nga përgjigjet e plota në ekuacionin tonë kub është - 1.

  Metoda 3 nga 3: Përdorimi i Qasjes Diskriminuese

  

  Hapi 1. Shkruani ekuacionet a, b, c dhe d

  Për të gjetur përgjigjen e ekuacionit kub në këtë mënyrë, ne do të bëjmë shumë llogaritje me koeficientët në ekuacionin tonë. Për shkak të kësaj, është një ide e mirë të shënoni vlerat e a, b, c dhe d para se të harroni ndonjë nga vlerat.

  Për shembull, për ekuacionin x ³ - 3 x ² + 3 x -1, shkruajeni si a = 1, b = -3, c = 3 dhe d = -1. Mos harroni se kur ndryshorja x nuk ka koeficient, vlera e saj është 1.

  

  Hapi 2. Llogarit 0 = b ² - 3 kondicionere.

  Qasja diskriminuese për të gjetur përgjigje për ekuacionet kub kërkon llogaritjet komplekse, por nëse ndiqni hapat me kujdes, mund të jetë shumë e dobishme për zgjidhjen e ekuacioneve kub që janë të vështira për t'u zgjidhur në mënyra të tjera. Për të filluar, gjeni vlerën 0, e cila është vlera e parë e rëndësishme e atyre që na duhen, duke futur vlerën e duhur në formulën b ² - 3 kondicionere.

  • Në shembullin që po përdorim, do ta zgjidhim si më poshtë:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Hapi 3. Njehso 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d

  Vlera tjetër e rëndësishme që na nevojitet, 1, kërkon një llogaritje më të gjatë, por mund të gjendet në të njëjtën mënyrë si 0. Futni vlerën e duhur në formulën 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d për të marrë vlerën 1.

  • Në këtë shembull, ne e zgjidhim atë si më poshtë:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Hapi 4. Llogarit = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Tjetra, ne llogarisim vlerën "diskriminuese" të vlerave 0 dhe 1. Diskriminuesi është një numër që ju jep informacion në lidhje me rrënjën e polinomit (mund të keni mësuar përmendësh pa vetëdije formulën kuadratike diskriminuese: b ² - 4 kondicionerë). Në rastin e një ekuacioni kub, nëse vlera e diskriminuesit është pozitive, atëherë ekuacioni ka tre përgjigje të numrit real. Nëse vlera diskriminuese është e barabartë me zero, atëherë ekuacioni ka një ose dy përgjigje të numrave realë, dhe disa prej përgjigjeve kanë të njëjtën vlerë. Nëse vlera është negative, atëherë ekuacioni ka vetëm një përgjigje të numrit real, sepse grafiku i ekuacionit gjithmonë do të ndërpresë boshtin x të paktën një herë.)

  • Në këtë shembull, që nga 0 dhe 1 = 0, gjetja e vlerës së është shumë e lehtë. Ne vetëm duhet ta llogarisim atë në mënyrën e mëposhtme:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, kështu që ekuacioni ynë ka 1 ose 2 përgjigje.

  

  Hapi 5. Llogarit C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Vlera e fundit që është e rëndësishme për ne të marrim është vlera e C. Kjo vlerë na lejon të marrim të tre rrënjët e ekuacionit tonë kub. Zgjidhni si zakonisht, duke futur vlerat e 1 dhe 0 në formulë.

  • Në këtë shembull, ne do të marrim vlerën e C duke:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Hapi 6. Llogaritni tre rrënjët e ekuacionit me ndryshoren tuaj

  Rrënja (përgjigja) e ekuacionit tuaj kub përcaktohet nga formula (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, ku u = (-1 + (-3))/2 dhe n është e barabartë me 1, 2, ose 3. Futni vlerat tuaja në formulë për t'i zgjidhur ato-mund të ketë mjaft llogaritje që duhet të bëni, por ju duhet të merrni të tre përgjigjet e ekuacionit tuaj kub!

  • Në këtë shembull, ne mund ta zgjidhim duke kontrolluar përgjigjet kur n është e barabartë me 1, 2 dhe 3. Përgjigja që marrim nga kjo llogaritje është përgjigja e mundshme për ekuacionin tonë kub - çdo vlerë që futim në ekuacionin kub dhe jep i njëjti rezultat. me 0, është përgjigja e saktë. Për shembull, nëse marrim një përgjigje të barabartë me 1 nëse në një nga eksperimentet tona të llogaritjes, duke futur vlerën 1 në ekuacionin x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 jep rezultatin përfundimtar të barabartë me 0. Kështu

    Hapi 1. është një nga përgjigjet për ekuacionin tonë kub.