Një polinom përmban një ndryshore (x) me një fuqi, të njohur si një shkallë, dhe disa terma dhe/ose konstante. Të faktorizosh një polinom do të thotë të ndash ekuacionin në ekuacione më të thjeshta që mund të shumëzohen. Kjo aftësi është në Algjebrën 1 e lart, dhe mund të jetë e vështirë të kuptohet nëse aftësitë tuaja matematikore nuk janë në këtë nivel.
Hapi
Fillo
Hapi 1. Vendosni ekuacionin tuaj
Formati standard për një ekuacion kuadratik është:
sëpatë2 + bx + c = 0
Filloni duke urdhëruar kushtet në ekuacionin tuaj nga fuqia më e lartë në atë më të ulët, ashtu si në këtë format standard. Për shembull:
6 + 6x2 + 13x = 0
Ne do ta riorganizojmë këtë ekuacion në mënyrë që të jetë më e lehtë për të punuar me të thjesht duke lëvizur termat:
6x2 + 13x + 6 = 0
Hapi 2. Gjeni faktorin e formës duke përdorur një nga metodat e mëposhtme
Faktorizimi i rezultateve polinomiale në dy ekuacione më të thjeshta që mund të shumëzohen për të prodhuar polinomin origjinal:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Në këtë shembull, (2x + 3) dhe (3x + 2) janë faktorët e ekuacionit origjinal, 6x2 +13x+6.
Hapi 3. Kontrolloni punën tuaj
Shumëzoni faktorët që keni. Pastaj, kombinoni termat si dhe ju jeni bërë. Fillojme me:
(2x + 3) (3x + 2)
Le të përpiqemi, shumëzojmë termat duke përdorur PLDT (e para - jashtë - brenda - e fundit), duke rezultuar në:
6x2 + 4x + 9x + 6
Nga këtu, ne mund të shtojmë 4x dhe 9x sepse ato janë si terma. Ne e dimë që faktorët tanë janë të saktë sepse marrim ekuacionin tonë origjinal:
6x2 + 13x + 6
Metoda 1 nga 6: Provë dhe Gabim
Nëse keni një polinom mjaft të thjeshtë, mund të jeni në gjendje t'i gjeni vetë faktorët vetëm duke i parë ato. Për shembull, pas praktikës, shumë matematikanë mund të kuptojnë se ekuacioni 4x2 + 4x + 1 ka një faktor (2x + 1) dhe (2x + 1) vetëm duke e parë shpesh. (Kjo natyrisht nuk do të jetë e lehtë për polinomet më të komplikuar). Për këtë shembull, le të përdorim një ekuacion më pak të përdorur:
3x2 + 2x - 8
Hapi 1. Shkruani një listë të faktorëve të termit a dhe termit c
Duke përdorur formatin e ekuacionit të boshtit2 + bx + c = 0, identifikoni termat a dhe c dhe shkruani faktorët që kanë të dy termat. Për 3x2 + 2x - 8, do të thotë:
a = 3 dhe ka një grup faktorësh: 1 * 3
c = -8 dhe ka katër grupe faktorësh: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, dhe -1 * 8.
Hapi 2. Shkruani dy grupe kllapa me hapësira bosh
Ju do të plotësoni boshllëqet që keni krijuar me konstante për secilin ekuacion:
(x) (x)
Hapi 3. Plotësoni boshllëqet para x me çiftet e mundshme të faktorëve për vlerën e a
Për termin a në shembullin tonë, 3x2, ekziston vetëm një mundësi për shembullin tonë:
(3x) (1x)
Hapi 4. Plotësoni dy vendet bosh pas x me çifte faktorësh për konstantën
Supozoni se ne zgjedhim 8 dhe 1. Shkruani në to:
(3x
Hapi 8.)(
Hapi 1
Hapi 5. Përcaktoni shenjën (plus ose minus) midis ndryshores x dhe numrit
Në varësi të shenjave në ekuacionin origjinal, mund të jetë e mundur të kërkoni shenja për konstante. Supozoni se i quajmë dy konstantet h dhe k për dy faktorët tanë:
Nëse sëpata2 + bx + c pastaj (x + h) (x + k)
Nëse sëpata2 - bx - c ose sëpatë2 + bx - c pastaj (x - h) (x + k)
Nëse sëpata2 - bx + c pastaj (x - h) (x - k)
Për shembullin tonë, 3x2 + 2x - 8, shenjat janë: (x - h) (x + k), duke na dhënë dy faktorë:
(3x + 8) dhe (x - 1)
Hapi 6. Testoni zgjedhjet tuaja duke përdorur shumëzimin e parë jashtë në të fundit (PLDT)
Testi i parë i shpejtë është të shihni nëse termi i mesëm ka të paktën vlerën e saktë. Nëse jo, mund të keni zgjedhur faktorët c të gabuar. Le të testojmë përgjigjen tonë:
(3x + 8) (x - 1)
Duke shumëzuar, marrim:
3x2 - 3x + 8x - 8
Duke e thjeshtuar këtë ekuacion duke shtuar termat e ngjashëm (-3x) dhe (8x), marrim:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Tani e dimë që duhet të kemi përdorur faktorët e gabuar:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Hapi 7. Ndryshoni përzgjedhjen tuaj nëse është e nevojshme
Në shembullin tonë, le të provojmë 2 dhe 4 në vend të 1 dhe 8:
(3x + 2) (x - 4)
Tani termi ynë c është -8, por produkti ynë jashtë/brenda (3x * -4) dhe (2 * x) është -12x dhe 2x, i cili i kombinuar nuk do të prodhojë termin e saktë b +2x.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Hapi 8. Kthejeni rendin nëse është e nevojshme
Le të provojmë të shkëmbejmë 2 dhe 4:
(3x + 4) (x - 2)
Tani, termi ynë c (4 * 2 = 8) është i saktë, por produkti i jashtëm/i brendshëm është -6x dhe 4x. Nëse i kombinojmë ato:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Ne jemi shumë afër 2x që po kërkojmë, por shenja është e gabuar.
Hapi 9. Kontrolloni dy herë etiketat tuaja nëse është e nevojshme
Ne do të përdorim të njëjtin rend, por shkëmbejmë ekuacionet që kanë shenjën minus:
(3x - 4) (x + 2)
Tani termi c nuk është problem, dhe produkti aktual i jashtëm/i brendshëm është (6x) dhe (-4x). Sepse:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Tani mund të përdorim pozitiv 2x nga problemi origjinal. Këta duhet të jenë faktorët e duhur.
Metoda 2 nga 6: Zbërthimi
Kjo metodë do të identifikojë të gjithë faktorët e mundshëm të termave a dhe c dhe do t'i përdorë ato për të gjetur faktorët e duhur. Nëse numrat janë shumë të mëdhenj ose supozimi duket se kërkon kohë, përdorni këtë metodë. Le të përdorim një shembull:
6x2 + 13x + 6
Hapi 1. Shumëzoni termin a me termin c
Në këtë shembull, a është 6 dhe c është gjithashtu 6.
6 * 6 = 36
Hapi 2. Merrni termin b duke u faktorizuar dhe testuar
Ne jemi duke kërkuar për dy numra që janë faktorë të produktit a * c që ne kemi identifikuar dhe gjithashtu i shtohen termit b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Hapi 3. Zëvendësoni dy numrat që merrni në ekuacionin tuaj si rezultat i shtimit të termit b
Le të përdorim k dhe h për të përfaqësuar dy numrat që kemi, 4 dhe 9:
sëpatë2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Hapi 4. Faktorizoni polinomin duke u grupuar
Rregulloni ekuacionet në mënyrë që të merrni faktorin më të madh të përbashkët si të termave të parë ashtu edhe të dytë. Grupi i faktorëve duhet të jetë i njëjtë. Shtoni faktorin më të madh të përbashkët dhe vendoseni në kllapa pranë grupit të faktorëve; rezultati janë dy faktorët tuaj:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metoda 3 nga 6: Luajtja e trefishtë
Ngjashëm me metodën e dekompozimit, metoda e lojës së trefishtë shqyrton faktorët e mundshëm të shumëzimit të termave a dhe c dhe përdorimit të vlerës së b. Provoni të përdorni këtë ekuacion shembull:
8x2 + 10x + 2
Hapi 1. Shumëzoni termin a me termin c
Ashtu si metoda e analizës, kjo do të na ndihmojë të identifikojmë kandidatët për afatin b. Në këtë shembull, a është 8 dhe c është 2.
8 * 2 = 16
Hapi 2. Gjeni dy numra të cilët, kur shumëzohen me numra, prodhojnë këtë numër me një shumë totale të barabartë me termin b
Ky hap është i njëjtë me analizën - ne testojmë dhe hedhim poshtë kandidatët për konstantën. Produkti i termave a dhe c është 16, dhe termi c është 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Hapi 3. Merrni këta dy numra dhe provojini duke i futur në formulën e lojës së trefishtë
Merrni dy numrat tanë nga hapi i mëparshëm - le t'i quajmë h dhe k - dhe futini ato në ekuacionin:
((sëpatë + h) (sëpatë + k))/ a
Ne do të marrim:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Hapi 4. Vëreni nëse ndonjëri prej dy termave në numërues ndahet me a
Në këtë shembull, ne pamë nëse (8x + 8) ose (8x + 2) ndahet me 8. (8x + 8) ndahet me 8, kështu që ne do ta ndajmë këtë term me a dhe do t'i lëmë faktorët e tjerë vetëm.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termi në kllapa këtu është ajo që ka mbetur pasi pjesëtohemi me termin a.
Hapi 5. Merrni faktorin më të madh të përbashkët (GCF) të njërit ose të dy termave, nëse ka
Në këtë shembull, termi i dytë, ka një GCF prej 2, sepse 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinojeni këtë rezultat me termin që keni marrë nga hapi i mëparshëm. Këta janë faktorët në ekuacionin tuaj.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metoda 4 nga 6: Dallimi i Rrënjëve Katrore
Disa koeficientë në polinome mund të jenë 'katrorë', ose produkt i dy numrave. Identifikimi i këtyre shesheve ju lejon të faktorizoni polinome të shumta më shpejt. Provoni këtë ekuacion:
27x2 - 12 = 0
Hapi 1. Hiqni faktorin më të madh të përbashkët nëse është e mundur
Në këtë rast, ne mund të shohim se 27 dhe 12 ndahen me 3, kështu që marrim:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Hapi 2. Identifikoni nëse koeficientët e ekuacionit tuaj janë numra katrorë
Për të përdorur këtë metodë, duhet të jeni në gjendje të merrni rrënjën katrore të të dy termave. (Vini re se ne do të injorojmë shenjën negative - sepse këta numra janë katrorë ata mund të jenë produkt i dy numrave pozitivë ose negativë)
9x2 = 3x * 3x dhe 4 = 2 * 2
Hapi 3. Duke përdorur rrënjën katrore që keni, shkruani faktorët
Ne do të marrim vlerat e a dhe c nga hapi ynë më lart - a = 9 dhe c = 4, pastaj gjejmë rrënjën katrore - a = 3 dhe c = 2. Rezultati është koeficienti i ekuacionit të faktorit:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metoda 5 nga 6: Formula Kuadratike
Nëse gjithçka tjetër dështon dhe ekuacioni nuk mund të faktorizohet i tërë, përdorni formulën kuadratike. Provoni këtë shembull:
x2 + 4x + 1 = 0
Hapi 1. Shkruani vlerat e kërkuara në formulën kuadratike:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Ne marrim ekuacionin:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Hapi 2. Gjeni vlerën e x
Do të merrni dy vlera. Siç u tregua më lart, ne marrim dy përgjigje:
x = -2 + (3) ose x = -2 -(3)
Hapi 3. Përdorni vlerën tuaj x për të gjetur faktorët
Lidhni vlerat x që keni marrë në dy ekuacionet polinomiale si konstante. Rezultati janë faktorët tuaj. Nëse i quajmë përgjigjet tona h dhe k, shkruajmë dy faktorët si më poshtë:
(x - h) (x - k)
Në këtë shembull, përgjigjja jonë përfundimtare është:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Metoda 6 nga 6: Përdorimi i Llogaritësit
Nëse ju lejohet të përdorni një kalkulator, një kalkulator grafik e bën procesin e faktorizimit shumë më të lehtë, veçanërisht për testet e standardizuara. Këto udhëzime janë për llogaritësin e grafikut TI. Ne do të përdorim një ekuacion shembull:
y = x2 x 2
Hapi 1. Futni ekuacionin tuaj në kalkulator
Ju do të përdorni faktorizimin e ekuacionit, i cili shkruhet [Y =] në ekran.
Hapi 2. Grafikoni ekuacionin tuaj duke përdorur kalkulatorin tuaj
Kur të keni futur ekuacionin tuaj, shtypni [GRAPH] - do të shihni një kurbë të lëmuar që përfaqëson ekuacionin tuaj (dhe forma është një kurbë sepse ne po përdorim polinome).
Hapi 3. Gjeni vendndodhjen ku kurba kryqëzohet me boshtin x
Meqenëse ekuacionet polinomiale zakonisht shkruhen si sëpatë2 + bx + c = 0, ky kryqëzim është vlera e dytë e x që bën që ekuacioni të jetë zero:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Nëse nuk mund të identifikoni se ku grafiku kryqëzohet me boshtin x duke e parë atë, shtypni [2nd] dhe pastaj [TRACE]. Shtypni [2] ose zgjidhni zero. Zhvendoseni kursorin në të majtë të kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Zhvendoseni kursorin në të djathtë të kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Zhvendoseni kursorin sa më afër kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Llogaritësi do të gjejë vlerën e x. Bëni këtë edhe për kryqëzimet e tjera
Hapi 4. Lidheni vlerën x të marrë nga hapi i mëparshëm në dy ekuacionet faktoriale
Nëse i emërtojmë të dyja vlerat tona x dhe k, ekuacionet që do të përdornim do të ishin:
(x - h) (x - k) = 0
Kështu, dy faktorët tanë janë:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Këshilla
- Nëse keni një kalkulator (grafik) TI-84, ekziston një program i quajtur SOLVER që do të zgjidhë ekuacionet tuaja kuadratike. Ky program do të zgjidhë polinome të çdo shkalle.
- Nëse një term nuk është shkruar, koeficienti është 0. isshtë e dobishme të rishkruani ekuacionin nëse është kështu, për shembull: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Nëse e keni faktorizuar polinomin tuaj duke përdorur një formulë kuadratike dhe keni marrë përgjigjen për sa i përket rrënjëve, mund të dëshironi të konvertoni vlerën e x në një fraksion për të kontrolluar.
- Nëse një term nuk ka koeficient të shkruar, koeficienti është 1, për shembull: x2 = 1x2.
- Pas praktikës së mjaftueshme, përfundimisht do të jeni në gjendje të faktorizoni polinomet në kokën tuaj. Derisa ta arrini atë, sigurohuni që gjithmonë të shkruani mënyrën se si.
