Një ekuacion kuadratik është një ekuacion shkalla më e lartë e të cilit është 2 (në katror). Ekzistojnë tre mënyra kryesore për të zgjidhur një ekuacion kuadratik: faktorizimi i ekuacionit kuadratik nëse mundeni, duke përdorur një formulë kuadratike, ose plotësimi i katrorit. Nëse doni të zotëroni këto tre metoda, ndiqni këto hapa.
Hapi
Metoda 1 nga 3: Ekuacionet e faktorizimit
Hapi 1. Kombinoni të gjitha ndryshoret e barabarta dhe zhvendosini ato në njërën anë të ekuacionit
Hapi i parë për faktorizimin e një ekuacioni është lëvizja e të gjithë variablave të barabartë në njërën anë të ekuacionit, me x2është pozitiv. Për të kombinuar ndryshoret, shtoni ose zbritni të gjitha ndryshoret x2, x, dhe konstantet (numrat e plotë), zhvendosini ato në anën tjetër të ekuacionit në mënyrë që asgjë të mos mbetet në anën tjetër. Kur pala tjetër nuk ka ndryshore të mbetura, shkruani një 0 pranë shenjës së barazimit. Ja si ta bëni:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Hapi 2. Faktorizoni këtë ekuacion
Për të faktuar këtë ekuacion, duhet të përdorni faktorin x2 (3) dhe faktorin konstant (-4), duke i shumëzuar dhe duke i shtuar për t’iu përshtatur ndryshores në mes, (-11). Ja si ta bëni:
- 3x2 ka vetëm një faktor të mundshëm i cili është, 3x dhe x, mund t'i shkruani në kllapa: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Pastaj, përdorni procesin e eliminimit në faktorin 4 për të gjetur produktin që jep -11x. Ju mund të përdorni produktin e 4 dhe 1, ose 2 dhe 2, sepse kur i shumëzoni të dy ju merrni 4. Por mbani mend se një nga numrat duhet të jetë negativ sepse rezultati është -4.
- Provoni (3x + 1) (x - 4). Kur e shumëzoni atë, rezultati është - 3x2 -12x +x -4. Nëse kombinoni variablat -12 x dhe x, rezultati është -11x, që është vlera juaj e mesme. Ju sapo keni faktuar një ekuacion kuadratik.
- Për shembull, le të provojmë faktorizimin e produktit tjetër: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Nëse kombinoni variablat, rezultati është 3x2 -4x -4. Edhe pse faktorët -2 dhe 2 kur shumëzohen prodhojnë -4, mesatarja nuk është e njëjtë sepse doni të merrni një vlerë -11x në vend të -4x.
Hapi 3. Supozoni se çdo parantezë është zero në një ekuacion të ndryshëm
Kjo do t'ju lejojë të gjeni 2 x vlera që do ta bëjnë ekuacionin tuaj zero. Ju e keni faktorizuar ekuacionin tuaj, kështu që gjithçka që duhet të bëni është të supozoni se llogaritja në secilën parantezë është e barabartë me zero. Kështu, mund të shkruani 3x + 1 = 0 dhe x - 4 = 0.
Hapi 4. Zgjidh secilin ekuacion veç e veç
Në një ekuacion kuadratik, ka 2 vlera për x. Zgjidhni secilin ekuacion veç e veç duke lëvizur variablat dhe duke shkruar 2 përgjigje për x, si kjo:
-
Zgjidhni 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. duke zbritur
- 3x/3 = -1/3….. duke pjesëtuar
- x = -1/3….. duke thjeshtuar
-
Zgjidhni x - 4 = 0
x = 4….. duke zbritur
- x = (-1/3, 4)….. duke i bërë disa përgjigje të mundshme të ndara, që do të thotë x = -1/3 ose x = 4 të dyja mund të jenë të sakta.
Hapi 5. Kontrolloni x = -1/3 në (3x + 1) (x -4) = 0:
Kështu marrim (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. duke zëvendësuar (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. duke thjeshtuar (0) (-4 1/3) = 0….. duke shumëzuar Pra, 0 = 0….. Po, x = -1/3 është e vërtetë.
Hapi 6. Kontrolloni x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Kështu marrim (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. duke zëvendësuar (13) (4 - 4)? =? 0….. duke thjeshtuar (13) (0) = 0….. duke shumëzuar Pra, 0 = 0….. Po, x = 4 është gjithashtu e vërtetë.
Pra, pas kontrollimit veç e veç, të dy përgjigjet janë të sakta dhe mund të përdoren në ekuacione
Metoda 2 nga 3: Përdorimi i Formulës Kuadratike
Hapi 1. Kombinoni të gjitha ndryshoret e barabarta dhe zhvendosini ato në njërën anë të ekuacionit
Zhvendosni të gjitha ndryshoret në njërën anë të ekuacionit, me vlerën e ndryshores x2 pozitive. Shkruani ndryshoret me eksponentë të njëpasnjëshëm, në mënyrë që x2 e parë e shkruar, e ndjekur nga variablat dhe konstantet. Ja si ta bëni:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Hapi 2. Shkruani formulën kuadratike
Formula kuadratike është: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Hapi 3. Përcaktoni vlerat e a, b dhe c nga ekuacioni kuadratik
Variabli a është koeficienti x2, b është koeficienti i ndryshores x, dhe c është një konstante. Për ekuacionin 3x2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, dhe c = -8. Shkruani të tre.
Hapi 4. Zëvendësoni vlerat e a, b dhe c në ekuacion
Pasi të njihni tre vlerat e ndryshueshme, lidhini ato në një ekuacion si ky:
- {-b +/- √ (lind2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Hapi 5. Kryeni llogaritjet
Pasi të keni futur numrat, bëni matematikë për të thjeshtuar shenjën pozitive ose negative, shumëzoni ose katroroni ndryshoret e mbetura. Ja si ta bëni:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Hapi 6. Thjeshtoni rrënjën katrore
Nëse numri nën rrënjën katrore është një katror i përsosur, ju merrni një numër të plotë. Nëse numri nuk është një katror i përsosur, thjeshtojeni në formën e tij më të thjeshtë rrënjësore. Nëse numri është negativ dhe besoni se duhet të jetë negativ, vlera e rrënjës do të jetë e komplikuar. Në këtë shembull, (121) = 11. Mund të shkruani x = (5 +/- 11)/6.
Hapi 7. Kërkoni përgjigje pozitive dhe negative
Pasi të keni hequr shenjën e rrënjës katrore, mund të arrini rrugën tuaj për të gjetur një rezultat pozitiv dhe negativ për x. Tani që keni (5 +/- 11)/6, mund të shkruani 2 përgjigje:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Hapi 8. Plotësoni përgjigjet pozitive dhe negative
Kryeni llogaritjet matematikore:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Hapi 9. Thjeshtoni
Për të thjeshtuar secilën përgjigje, ndajeni me numrin më të madh që mund të ndajë të dy numrat. Ndani thyesën e parë me 2 dhe ndani pjesën e dytë me 6, dhe keni gjetur vlerën e x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metoda 3 nga 3: Plotësoni Sheshin
Hapi 1. Zhvendosni të gjitha ndryshoret në njërën anë të ekuacionit
Sigurohuni që një ose ndryshore x2 pozitive. Ja si ta bëni:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Në këtë ekuacion, ndryshorja a është 2, variabla b është -12, dhe ndryshorja c është -9
Hapi 2. Zhvendosni ndryshoren ose konstanten c në anën tjetër
Konstantet janë terma numerikë pa ndryshore. Kaloni në anën e djathtë të ekuacionit:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Hapi 3. Ndani të dyja anët me koeficientin a ose ndryshoren x2.
Nëse x2 nuk ka një ndryshore dhe koeficienti është 1, mund ta kaloni këtë hap. Në këtë rast, ju duhet të ndani të gjitha ndryshoret me 2, si kjo:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Hapi 4. Ndani b me 2, katroroni atë dhe shtoni rezultatin në të dy anët
Vlera e b në këtë shembull është -6. Ja si ta bëni:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Hapi 5. Thjeshtoni të dyja anët
Faktorizoni ndryshoren në anën e majtë për të marrë (x-3) (x-3) ose (x-3)2Me Shtoni vlerat në të djathtë për të marrë 9/2 + 9 ose 9/2 + 18/2, që është 27/2.
Hapi 6. Gjeni rrënjën katrore për të dy anët
Rrënja katrore e (x-3)2 është (x-3). Mund të shkruani rrënjën katrore të 27/2 si ± √ (27/2). Kështu, x - 3 = √ (27/2).
Hapi 7. Thjeshtoni rrënjët dhe gjeni vlerën e x
Për të thjeshtuar ± √ (27/2), gjeni katrorin e përsosur midis numrave 27 dhe 2 ose faktorizoni atë numër. Katrori i përsosur i 9 mund të gjendet në 27 sepse 9 x 3 = 27. Për të marrë 9 nga rrënja katrore, merrni 9 nga rrënja dhe shkruani 3, rrënja katrore, jashtë rrënjës katrore. Lëreni pjesën e mbetur 3 në numëruesin e thyesës nën rrënjën katrore, pasi 27 nuk i përpunon të gjithë faktorët dhe shkruani 2 më poshtë. Pastaj, lëvizni konstanten 3 në anën e majtë të ekuacionit në të djathtë dhe shkruani dy zgjidhjet tuaja për x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Këshilla
- Siç mund ta shihni, shenjat rrënjësore nuk do të zhduken plotësisht. Kështu, variablat numërues nuk mund të kombinohen (sepse nuk janë të barabartë). Nuk ka kuptim ta ndajmë atë në pozitive ose negative. Sidoqoftë, ne mund ta ndajmë atë me të njëjtin faktor, por VETLM nëse faktorët janë të njëjtë për të dy konstantet DHE koeficienti i rrënjës.
- Nëse numri nën rrënjën katrore nuk është një katror i përsosur, atëherë hapat e fundit janë pak më ndryshe. Këtu është një shembull:
- Nëse b është një numër çift, formula bëhet: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
