3 mënyra për të thjeshtuar shprehjet algjebrike

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-15 08:24

Të mësosh se si të thjeshtosh shprehjet algjebrike është një nga çelësat për të zotëruar algjebrën bazë dhe mjeti më i dobishëm që çdo matematikan duhet të ketë. Thjeshtimi i lejon matematikanët të shndërrojnë shprehje komplekse, të gjata dhe/ose tek në shprehje ekuivalente më të thjeshta ose më të lehta. Aftësitë themelore të thjeshtimit janë shumë të lehta për tu mësuar - edhe për ata që e urrejnë matematikën. Duke ndjekur disa hapa të thjeshtë, është e mundur të thjeshtoni shumë nga llojet më të përdorura të shprehjeve algjebrike, pa përdorur ndonjë njohuri të veçantë të matematikës. Shikoni hapin 1 për të filluar!

Hapi

Kuptimi i koncepteve të rëndësishme

Hapi 1. Gruponi termat sipas variablave dhe fuqive të tyre

Në algjebër, termat e ngjashëm kanë të njëjtin konfigurim të ndryshueshëm, me të njëjtën fuqi. Me fjalë të tjera, që dy terma të jenë të barabartë, ata duhet të kenë të njëjtën ndryshore, ose asnjë ndryshore fare, dhe secila ndryshore ka të njëjtën fuqi, ose asnjë eksponent. Rendi i variablave në terma nuk është i rëndësishëm.

Për shembull, 3x² dhe 4x² janë si terma sepse të dy kanë një ndryshore x me fuqinë e katrorit. Megjithatë, x dhe x² nuk janë si terma sepse secili term ka një ndryshore x me një fuqi të ndryshme. Pothuajse të njëjtat, -3yx dhe 5xz nuk janë terma të ngjashëm sepse secili term ka një ndryshore të ndryshme.

Hapi 2. Faktorizoni duke shkruar numrin si prodhim të dy faktorëve

Faktorizimi është koncepti i shënimit të një numri të caktuar si produkt i dy faktorëve që shumëzohen. Numrat mund të kenë më shumë se një grup faktorësh - për shembull, 12 mund të merren nga 1 × 12, 2 × 6 dhe 3 × 4, kështu që mund të themi se 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12 janë faktorë nga 12 Një mënyrë tjetër për ta imagjinuar atë është se faktorët e një numri janë numrat që ndajnë numrin në tërësi.

• Për shembull, nëse do të donim faktorin 20, mund ta shkruanim si 4 × 5.
• Vini re se termat e ndryshueshëm gjithashtu mund të faktorizohen. -20x, për shembull, mund të shkruhet si 4 (5x).
• Numrat e thjeshtë nuk mund të faktorizohen sepse mund të ndahen vetëm me veten dhe 1.

Hapi 3. Përdorni shkurtesën KaPaK BoTaK për të kujtuar rendin e operacioneve

Ndonjëherë, thjeshtimi i një shprehjeje thjesht zgjidh operacionin në ekuacion derisa të mos jetë më i zbatueshëm. Në këto raste, është shumë e rëndësishme të mbani mend rendin e operacioneve në mënyrë që të mos ndodhin gabime aritmetike. Akronimi KaPaK BoTaK do t'ju ndihmojë të mbani mend rendin e operacioneve - shkronjat tregojnë llojet e operacioneve që duhet të kryeni, sipas radhës:

• Kdështoj
• Pheq
• Kali
• Bpërsëri
• Tshtoni
• Kkarkaleca

Metoda 1 nga 3: Merge Terms Like

Hapi 1. Shkruani ekuacionin tuaj

Ekuacionet më të thjeshta algjebrike, që përfshijnë vetëm disa terma të ndryshueshëm me koeficientë të plotë dhe pa thyesa, rrënjë, etj., Shpesh mund të zgjidhen në vetëm disa hapa. Për shumicën e problemeve matematikore, hapi i parë për të thjeshtuar ekuacionin tuaj është ta shkruani atë!

Si një shembull shembull, për hapat e ardhshëm, ne përdorim shprehjen 1 + 2x - 3 + 4x.

Hapi 2. Identifikoni fise të ngjashme

Tjetra, kërkoni terma të ngjashëm në ekuacionin tuaj. Mos harroni se termat e ngjashëm kanë të njëjtën ndryshore dhe eksponent.

Për shembull, le të identifikojmë terma të ngjashëm në ekuacionin tonë 1 + 2x - 3 + 4x. 2x dhe 4x të dy kanë të njëjtën ndryshore me të njëjtën fuqi (në këtë rast, x nuk ka eksponent). Gjithashtu, 1 dhe -3 janë si terma sepse nuk kanë variabla. Pra, në ekuacionin tonë, 2x dhe 4x dhe 1 dhe -3 janë fise të ngjashme.

Hapi 3. Kombinoni terma të ngjashëm

Tani që keni identifikuar terma të ngjashëm, mund t'i kombinoni ato për të thjeshtuar ekuacionin tuaj. Shtoni termat (ose zbritni në rastin e termave negativë) për të zvogëluar grupin e termave me të njëjtën ndryshore dhe eksponent në një term të barabartë.

• Le të shtojmë terma të ngjashëm në shembullin tonë.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Hapi 4. Krijo një ekuacion më të thjeshtë nga termat e thjeshtuar

Pasi të kombinoni termat tuaj të ngjashëm, bëni një ekuacion nga grupi i ri, më i vogël i termave. Ju do të merrni një ekuacion më të thjeshtë, i cili ka një term për grupet e ndryshme të ndryshoreve dhe fuqive në ekuacionin origjinal. Ky ekuacion i ri është ekuivalent me ekuacionin origjinal.

Në shembullin tonë, termat tanë të thjeshtuar janë 6x dhe -2, kështu që ekuacioni ynë i ri është 6x - 2Me Ky ekuacion i thjeshtë është ekuivalent me origjinalin (1 + 2x - 3 + 4x), por më i shkurtër dhe më i lehtë për t’u punuar. Alsoshtë gjithashtu më e lehtë të faktorizosh, të cilën do ta shikojmë më poshtë, e cila është një aftësi tjetër e rëndësishme thjeshtuese.

Hapi 5. Ndiqni rendin e operacioneve kur kombinoni terma të ngjashëm

Në ekuacione shumë të thjeshta si ai që kemi punuar në shembullin e problemit të mësipërm, identifikimi i termave të ngjashëm është i lehtë. Sidoqoftë, në ekuacionet më komplekse, të tilla si shprehjet që përfshijnë terma parantezë, thyesa dhe rrënjë, si termat që mund të kombinohen mund të mos jenë qartë të dukshëm. Në këto raste, ndiqni rendin e operacioneve, duke kryer operacione sipas kushteve në shprehjen tuaj sipas nevojës derisa të mbeten operacionet e mbledhjes dhe zbritjes.

• Për shembull, le të përdorim ekuacionin 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Do të ishte e gabuar që menjëherë të konsiderojmë 3x dhe 2x si terma të ngjashëm dhe t'i kombinojmë ato sepse kllapat në shprehje tregojnë se së pari duhet të bëjmë operacione të tjera. Së pari, ne kryejmë operacione aritmetike në shprehjen në rendin e operacioneve për të marrë termat që mund të përdorim. Shihni sa vijon:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x Tani, meqenëse operacionet e vetme të mbetura janë mbledhja dhe zbritja, ne mund të kombinojmë terma të ngjashëm.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Metoda 2 nga 3: Faktorizimi

Hapi 1. Identifikoni faktorin më të madh të përbashkët në shprehje

Faktorizimi është një mënyrë për të thjeshtuar një shprehje duke hequr faktorët që janë të njëjtë në të gjitha kushtet e ngjashme në shprehje. Për të filluar, gjeni faktorin më të madh të përbashkët që kanë të gjitha termat - me fjalë të tjera, numrin më të madh që ndan të gjithë termat në shprehjen tërësi.

• Le të përdorim ekuacionin 9x² + 27x - 3. Vini re se çdo term në këtë ekuacion ndahet me 3. Meqenëse termat nuk ndahen me ndonjë numër më të madh, mund të themi se

  Hapi 3. është faktori ynë më i madh i përbashkët.

Hapi 2. Ndani termat në shprehje me faktorin më të madh të përbashkët

Tjetra, ndani çdo term në ekuacionin tuaj me faktorin më të madh të përbashkët që sapo keni gjetur. Termat e herësit do të kenë një koeficient më të vogël se ekuacioni origjinal.

• Le të faktorizojmë ekuacionin tonë sipas faktorit të tij më të madh të përbashkët, 3. Për ta bërë këtë, ne do ta ndajmë secilin term me 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Kështu, shprehja jonë e re është 3x² + 9x - 1.

Hapi 3. Shkruani shprehjen tuaj si produkt i faktorit më të madh të përbashkët të shumëzuar me termat e mbetur

Shprehja juaj e re nuk është ekuivalente me shprehjen tuaj origjinale, kështu që do të ishte e pasaktë të thuash që shprehja është thjeshtuar. Për ta bërë shprehjen tonë të re të barabartë me origjinalin, duhet të përfshijmë faktin se shprehja jonë është ndarë nga faktori më i madh i përbashkët. Mbyllni shprehjen tuaj të re në kllapa dhe shkruani faktorin më të madh të përbashkët të ekuacionit origjinal si koeficienti i shprehjes në kllapa.

Për ekuacionin tonë shembull, 3x² + 9x - 1, ne mund ta mbyllim shprehjen në kllapa dhe ta shumëzojmë me faktorin më të madh të përbashkët të ekuacionit origjinal për të marrë 3 (3x² + 9x - 1)Me Ky ekuacion është ekuivalent me ekuacionin origjinal, 9x² +27x - 3

Hapi 4. Përdorni faktorizimin për të thjeshtuar thyesat

Tani mund të pyesni pse përdoret faktoringu, nëse edhe pas heqjes së faktorit më të madh të përbashkët, shprehja e re duhet të shumëzohet përsëri me atë faktor. Në fakt, faktorizimi i lejon matematikanët të kryejnë truqe të ndryshme për të thjeshtuar shprehjet. Një nga truket e tij më të lehta përfiton nga fakti se shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me të njëjtin numër mund të prodhojë thyesa ekuivalente. Shihni sa vijon:

• Thuaj shprehjen tonë fillestare shembull, 9x² + 27x - 3, është kuantifikuesi i thyesës më të madhe me 3 si numërues. Pjesa do të duket kështu: (9x² + 27x - 3)/3. Ne mund të përdorim faktoringun për të thjeshtuar thyesat.

  • Le të zëvendësojmë formën faktorizuese të shprehjes sonë origjinale me shprehjen në numërues: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Vini re se tani, si numëruesi ashtu edhe emëruesi kanë një koeficient prej 3. Duke ndarë numëruesin dhe emëruesin me 3, marrim: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Meqenëse çdo thyesë me emëruesin 1 është ekuivalent me termat në numërues, mund të themi se thyesa jonë fillestare mund të thjeshtohet në 3x² + 9x - 1.

Metoda 3 nga 3: Aplikimi i Aftësive Shtesë të Thjeshtimit

Hapi 1. Thjeshtoni thyesat duke u ndarë me faktorët e njëjtë

Siç u tha më lart, nëse numëruesi dhe emëruesi i një ekuacioni kanë të njëjtët faktorë, këta faktorë mund të hiqen plotësisht në thyesë. Ndonjëherë, do të kërkojë faktorizim në numëruesin, emëruesin ose të dyja (siç është rasti në shembullin e problemit të mësipërm) ndërsa ndonjëherë të njëjtët faktorë janë shpesh të dukshëm. Vini re se është gjithashtu e mundur të ndani kushtet e numëruesit me ekuacionin në emërues një nga një për të marrë një shprehje të thjeshtë.

• Le të punojmë në një shembull që nuk kërkon faktorizim. Për thyesat (5x² + 10x + 20)/10, secilin term në numërues mund ta ndajmë me 10 për ta thjeshtuar, edhe nëse koeficienti është 5 në 5x² nuk është më i madh se 10 dhe kështu 10 nuk është një faktor.

  Nëse e bëjmë, do të marrim ((5x²)/10) + x + 2. Nëse dëshirojmë, mund ta rishkruajmë termin e parë si (1/2) x² kështu marrim (1/2) x² +x+2.

Hapi 2. Përdorni faktorët në katror për të thjeshtuar rrënjët

Shprehja nën shenjën rrënjë quhet shprehje rrënjë. Kjo shprehje mund të thjeshtohet duke identifikuar faktorët në katror (faktorët që janë katrorë të numrave të plotë) dhe duke kryer veprimin e rrënjës katrore veç e veç për t'i hequr ato nga nën shenjën e rrënjës katrore.

• Le të bëjmë një shembull të thjeshtë - (90). Nëse mendojmë për 90 si produkt i dy faktorëve të tij, 9 dhe 10, mund të marrim rrënjën katrore të 9 që është numri i plotë 3 dhe ta heqim atë nga shenja radikale. Me fjale te tjera:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Hapi 3. Shtoni eksponentë kur shumëzoni dy eksponentë; zbres kur ndahet

Disa shprehje algjebrike kërkojnë shumëzimin ose ndarjen e termave të fuqisë. Në vend që të llogaritni ose ndani secilin eksponent me dorë, thjesht shtoni eksponentët kur shumohen dhe zbritni kur ndaheni për të kursyer kohë. Ky koncept mund të përdoret gjithashtu për të thjeshtuar shprehjet e ndryshueshme.

• Për shembull, le të përdorim shprehjen 6x³ X 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵) Në çdo rast kur kërkohet shumëzimi ose pjesëtimi i eksponentëve, ne do të zbresim ose shtojmë eksponentë, përkatësisht, për të gjetur shpejt termin e thjeshtë. Shihni sa vijon:

  • 6x³ X 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Për një shpjegim se si funksionon, shihni më poshtë:

  • Shumëzimi i termave në eksponentë është në të vërtetë si shumëzimi i termave jo në eksponentë të gjatë. Për shembull, sepse x³ = x × x × x dhe x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ose x⁸.
  • Pothuajse e njëjta gjë, ndarja e eksponentëve është si ndarja e termave, jo eksponentë të gjatë. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Meqenëse çdo term në numërues mund të tejkalohet duke gjetur të njëjtin term në emërues, kanë mbetur vetëm dy x në numërues dhe asgjë nuk mbetet në fund, duke dhënë përgjigjen x².

Këshilla

• Gjithmonë mbani mend se ju duhet t'i imagjinoni këto numra si shenja pozitive dhe negative. Shumë njerëz ndalojnë së menduari se çfarë Shenje duhet të vendos këtu?
• Kërkoni ndihmë nëse keni nevojë për të!
• Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike nuk është i lehtë, por pasi ta kuptoni, do ta përdorni për pjesën tjetër të jetës tuaj.

Paralajmërim

• Gjithmonë kërkoni fise të ngjashme dhe mos u mashtroni nga grada.
• Sigurohuni që të mos shtoni numra, fuqi ose veprime që nuk duhet të bëhen pa dashje.