Një vektor është një sasi fizike që ka edhe madhësinë dhe drejtimin (p.sh. shpejtësinë, nxitimin dhe zhvendosjen), në krahasim me një shkallë që përbëhet vetëm nga madhësia (p.sh. shpejtësia, distanca ose energjia). Nëse shkallëzimet mund të shtohen duke shtuar madhësi (p.sh. punë 5 kJ plus 6 kJ punë e barabartë me punë 11 kJ), vektorët janë pak të ndërlikuar për të shtuar ose zbritur. Shihni Hapin 1 më poshtë për të mësuar disa mënyra për të shtuar ose zbritur vektorë.
Hapi
Metoda 1 nga 3: Shtimi dhe zbritja e vektorëve Komponentët e të cilëve janë të njohur
Hapi 1. Shkruani përbërësit dimensionale të vektorit në shënimin e vektorit
Meqenëse vektorët kanë madhësi dhe drejtim, ato zakonisht mund të ndahen në pjesë bazuar në dimensionet x, y dhe/ose z. Këto dimensione zakonisht shkruhen me një shënim të ngjashëm për të përshkruar një pikë në një sistem koordinativ (p.sh. dhe të tjerët). Nëse e njihni këtë pjesë, shtimi ose zbritja e vektorëve është shumë e lehtë, thjesht shtoni ose zbritni koordinatat e tyre x, y dhe z.
- Vini re nëse dimensionet e vektorit janë 1, 2, ose 3. Kështu, vektori mund të ketë përbërës x, x dhe y, ose x, y, dhe z. Shembulli ynë i mëposhtëm përdor një vektor 3-dimensional, por procesi është si një vektor 1 ose 2-dimensional.
- Supozoni se kemi dy vektorë 3-dimensionale, vektori A dhe vektori B. Ne mund t'i shkruajmë këto vektorë duke përdorur shënime vektoriale si A = dhe B =, ku a1 dhe a2 janë x përbërës, b1 dhe b2 janë përbërës y, dhe c1 dhe c2 janë përbërës z.
Hapi 2. Për të shtuar dy vektorët, shtoni përbërësit e tyre
Nëse dy përbërësit e një vektori janë të njohur, mund t'i shtoni vektorët duke shtuar përbërësit e secilit. Me fjalë të tjera, shtoni përbërësin x të vektorit të parë në përbërësin x të vektorit të dytë dhe bëni të njëjtën gjë për y dhe z. Përgjigja që merrni nga shtimi i përbërësve x, y dhe z të atyre vektorëve është përbërësit x, y dhe z të vektorit tuaj të ri.
- Në terma të përgjithshëm, A+B =.
- Le të shtojmë dy vektorë A dhe B. A = dhe B =. A + B =, ose.
Hapi 3. Për të zbritur të dy vektorët, zbritni përbërësit e tyre
Siç do të diskutojmë më vonë, zbritja e një vektori nga një tjetër, mund të mendohet si shtimi i vektorëve të tij reciprokë. Nëse përbërësit e të dy vektorëve janë të njohur, është e mundur të zbritet një vektor nga një tjetër duke zbritur përbërësin e parë nga përbërësi i dytë (ose duke shtuar përbërësit negativë të të dyjave).
- Në terma të përgjithshëm, A-B =
- Le të zbresim dy vektorë A dhe B. A = dhe B =. A - B =, ose.
Metoda 2 nga 3: Shtimi dhe zbritja me fotografi duke përdorur metodën e kokës dhe bishtit
Hapi 1. Simbolizoni vektorin duke e vizatuar duke përdorur kokën dhe bishtin
Meqenëse vektorët kanë madhësi dhe drejtim, mund të themi se ata kanë një bisht dhe një kokë. Me fjalë të tjera, një vektor ka një pikë fillimi dhe një pikë përfundimtare që tregon drejtimin e vektorit, distanca e të cilit nga pika e fillimit është e barabartë me madhësinë e vektorit. Kur vizatohet, vektori merr formën e një shigjete. Maja e shigjetës është koka e vektorit dhe fundi i vijës vektoriale është bishti.
Nëse jeni duke krijuar një vizatim vektorial me dimensione, do t'ju duhet të matni dhe vizatoni me saktësi të gjitha qoshet. Këndi i gabuar i figurës do të ndikojë në rezultatin rezultues kur shtohen ose zbriten dy vektorë duke përdorur këtë metodë
Hapi 2. Për të shtuar, vizatuar ose lëvizur vektorin e dytë në mënyrë që bishti të takojë kokën e vektorit të parë
Kjo quhet kombinimi i vektorëve kokë me bisht. Nëse jeni duke shtuar vetëm dy vektorë, ja çfarë duhet të bëni para se të gjeni vektorin rezultues.
Vini re se rendi në të cilin shtoni vektorë nuk ka rëndësi, duke supozuar se përdorni të njëjtën pikënisje. Vektori A + Vektori B = Vektori B + Veltor A
Hapi 3. Për të zbritur, shtoni një shenjë negative në vektor
Reduktimi i vektorëve duke përdorur imazhe është shumë i thjeshtë. Kthejeni drejtimin e vektorit, por mbani madhësinë e njëjtë dhe shtoni kokën dhe bishtin tuaj të vektorit si zakonisht. Me fjalë të tjera, për të zbritur një vektor, rrotullojeni vektorin 180o dhe shtoni.
Hapi 4. Nëse shtoni ose zbritni më shumë se dy vektorë, kombinoni të gjithë vektorët në një rend kokë më bisht
Rendi i bashkimit nuk ka rëndësi. Kjo metodë mund të përdoret pavarësisht nga numri i vektorëve.
Hapi 5. Vizatoni një vektor të ri nga bishti i vektorit të parë në kokën e vektorit të fundit
Nëse jeni duke shtuar/zbritur dy vektorë ose njëqind, vektori që shtrihet nga pika juaj fillestare fillestare (bishti i vektorit të parë) në pikën përfundimtare të vektorit tuaj të fundit (koka e vektorit tuaj të fundit) është vektori rezultues ose shumën e të gjithë vektorëve tuaj. Vini re se ky vektor është saktësisht i njëjtë me vektorin e marrë duke shtuar të gjithë përbërësit x, y dhe/ose z.
- Nëse i tërhiqni të gjithë vektorët tuaj në madhësi, duke matur saktë të gjitha këndet, mund të përcaktoni madhësinë e vektorit rezultues duke matur gjatësinë. Ju gjithashtu mund të matni këndin midis rezultantit dhe çdo vektori horizontalisht ose vertikalisht për të përcaktuar drejtimin e tij.
- Nëse nuk i tërheqni të gjithë vektorët tuaj në madhësi, mund t'ju duhet të llogaritni madhësinë e rezultantit duke përdorur trigonometri. Ndoshta Rregullat Sine dhe Cosine do të ndihmojnë. Nëse shtoni më shumë se dy vektorë, është e dobishme të shtoni vektorin e parë me të dytin, pastaj shtoni rezultatin e të dytit në të tretin, dhe kështu me radhë. Shihni seksionet e mëposhtme për më shumë informacion.
Hapi 6. Vizatoni vektorin tuaj rezultues duke përdorur madhësinë dhe drejtimin e tij
Një vektor përcaktohet nga gjatësia dhe drejtimi i tij. Sa më sipër, duke supozuar se keni vizatuar vektorin tuaj me saktësi, madhësia e vektorit tuaj të ri është gjatësia e tij dhe drejtimi i tij është këndi në lidhje me drejtimin vertikal ose horizontal. Përdorni vektorët njësi që shtoni ose zbritni për të përcaktuar njësitë për madhësinë e vektorit tuaj rezultues.
Për shembull, nëse vektorët e shtuar përfaqësojnë shpejtësinë në ms-1, atëherë vektori rezultues mund të përkufizohet si "shpejtësia x ms-1 kundër y o në drejtim horizontal.
Metoda 3 nga 3: Shtimi dhe zbritja e vektorëve duke specifikuar përbërës dimensionale vektoriale
Hapi 1. Përdorni trigonometrinë për të përcaktuar përbërësit e një vektori
Për të gjetur përbërësit e një vektori, zakonisht duhet të dini madhësinë dhe drejtimin e tij në lidhje me drejtimin horizontal ose vertikal dhe të kuptoni trigonometrinë. Duke supozuar një vektor 2-dimensional, së pari, mendoni për vektorin tuaj si hipotenuzë të një trekëndëshi kënddrejtë, dy anët e të cilit janë paralele me drejtimet x dhe y. Këto dy anë mund të mendohen si përbërës të një vektori kokë më bisht që shtohen për të formuar vektorin tuaj.
- Gjatësitë e të dy anëve janë të barabarta me përbërësit x dhe y të vektorit tuaj dhe mund të llogariten duke përdorur trigonometri. Nëse x është një madhësi vektoriale, ana ngjitur me këndin e vektorit (në raport me drejtimet horizontale, vertikale dhe të tjera) është xcos (θ), ndërsa ana e kundërt është xsin (θ).
- Alsoshtë gjithashtu shumë e rëndësishme të vini re drejtimin e përbërësve tuaj. Nëse përbërësi tregon një koordinatë negative, atij i jepet një shenjë negative. Për shembull, në një plan 2-dimensional, nëse një përbërës është drejtuar majtas ose poshtë, ai është negativ.
- Për shembull, le të themi se kemi një vektor me madhësi 3 dhe drejtim 135o në raport me atë horizontale. Me këtë informacion, ne mund të përcaktojmë që përbërësi x është 3cos (135) = - 2, 12 dhe përbërësi y është 3sin (135) = 2, 12
Hapi 2. Shtoni ose zbritni dy ose më shumë vektorë të lidhur
Pasi të keni gjetur përbërësit e të gjithë vektorëve tuaj, shtojini ato për të gjetur përbërësit e vektorit tuaj rezultues. Së pari, shtoni të gjitha madhësitë e përbërësve horizontalë (të cilët janë paralel me drejtimin x). Më vete, shtoni të gjitha madhësitë e përbërësve vertikalë (të cilët janë paralel me drejtimin y). Nëse një përbërës është negativ (-), madhësia e tij zbritet, nuk shtohet. Përgjigja që merrni është përbërësi i vektorit tuaj rezultues.
Për shembull, vektori nga hapi i mëparshëm,, i shtohet vektorit. Në këtë rast, vektori rezultues bëhet ose
Hapi 3. Llogaritni madhësinë e vektorit rezultues duke përdorur Teoremën e Pitagorës
Teorema e Pitagorës c2= a2+b2, përdoret për të gjetur gjatësinë e brinjës së një trekëndëshi kënddrejtë. Meqenëse trekëndëshi i formuar nga vektori ynë rezultues dhe përbërësit e tij është një trekëndësh kënddrejtë, ne mund ta përdorim atë për të gjetur gjatësinë dhe madhësinë e vektorit. Me c si madhësinë e vektorit rezultues, të cilin po kërkoni, supozoni a është madhësia e përbërësit x dhe b është madhësia e përbërësit y. Zgjidheni duke përdorur algjebër.
-
Për të gjetur madhësinë e vektorit, përbërësit e të cilit kemi kërkuar në hapin e mëparshëm, përdorni Teoremën e Pitagorës. Zgjidhni si më poshtë:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Hapi 4. Llogaritni drejtimin rezultues duke përdorur funksionin Tangent
Së fundi, gjeni vektorin rezultues të drejtimit. Përdorni formulën = cirk-1(b/a), ku është madhësia e këndit të formuar në drejtimin x ose horizontal, b është madhësia e përbërësit y, dhe a është madhësia e përbërësit x.
-
Për të gjetur drejtimin e vektorit tonë, përdorni = tan-1(b/a).
- = nxi-1(-6, 88/3, 66)
- = nxi-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Hapi 5. Vizatoni vektorin tuaj rezultues sipas madhësisë dhe drejtimit të tij
Siç është shkruar më lart, vektorët përcaktohen nga madhësia dhe drejtimi i tyre. Sigurohuni që të përdorni njësitë e duhura për madhësinë tuaj vektoriale.
Për shembull, nëse shembulli ynë vektorial përfaqëson një forcë (në Njutonë), atëherë ne mund ta shkruajmë atë "forca 7.79 N nga -61.99 o në horizontale ".
Këshilla
- Vektori është i ndryshëm nga i madhi.
- Vektorët me të njëjtin drejtim mund të shtohen ose zbriten duke shtuar ose zbritur madhësitë e tyre. nëse ti Përmbledhje dy vektorë që janë të kundërt, madhësitë e tyre zbriten, nuk shtohen.
- Vektorët e përfaqësuar në formën x i + y j + z k mund të shtohen ose zbriten duke shtuar ose zbritur koeficientët e tre vektorëve njësi. Përgjigja është gjithashtu në formën e i, j dhe k.
- Ju mund të gjeni madhësinë e një vektori tre-dimensionale duke përdorur formulën a2= b2+c2+d2 ku a është madhësia e vektorit, dhe b, c dhe d janë përbërësit e secilit drejtim.
- Vektorët e kolonave mund të shtohen dhe zbriten duke shtuar ose zbritur vlerat e secilës rresht.
