Forma rrënjë është një deklaratë algjebrike që ka shenjën e rrënjës katrore (ose rrënjë kubike ose më e lartë). Kjo formë shpesh mund të përfaqësojë dy numra që kanë të njëjtën vlerë edhe pse mund të duken të ndryshme në shikim të parë (për shembull, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Prandaj, ne kemi nevojë për një "formulë standarde" për këtë lloj forme. Nëse ka dy pohime, të dyja në formulën standarde, që duken të ndryshme, ato nuk janë të njëjta. Matematikanët pajtohen që formulimi standard i formës kuadratike plotëson kërkesat e mëposhtme:
- Shmangni përdorimin e thyesave
- Mos përdorni fuqi fraksionale
- Shmangni përdorimin e formës rrënjë në emërues
- Nuk përmban shumëzimin e dy formave rrënjësore
- Numrat nën rrënjë nuk mund të rrënjosen më
Një përdorim praktik i kësaj është në provimet me zgjedhje të shumta. Kur gjeni një përgjigje, por përgjigja juaj nuk është e njëjtë me opsionet në dispozicion, përpiquni ta thjeshtoni atë në një formulë standarde. Meqenëse krijuesit e pyetjeve zakonisht shkruajnë përgjigje në formula standarde, bëni të njëjtën gjë me përgjigjet tuaja që të përputhen me përgjigjet e tyre. Në pyetjet ese, komandat si "thjeshtoni përgjigjen tuaj" ose "thjeshtoni të gjitha rrënjët" nënkuptojnë që studentët duhet të kryejnë hapat e mëposhtëm derisa të plotësojnë formulën standarde si më sipër. Ky hap mund të përdoret gjithashtu për të zgjidhur ekuacionet, edhe pse disa lloje ekuacionesh janë më të lehta për t'u zgjidhur në formula jo standarde.
Hapi
Hapi 1. Nëse është e nevojshme, rishikoni rregullat për funksionimin e rrënjëve dhe eksponentëve (të dyja janë të barabarta - rrënjët janë fuqitë e thyesave) siç na duhen në këtë proces
Gjithashtu rishikoni rregullat për thjeshtimin e polinomeve dhe formave racionale pasi do të na duhet t'i thjeshtojmë ato.
Metoda 1 nga 6: Katrorë të përsosur
Hapi 1. Thjeshtoni të gjitha rrënjët që përmbajnë katrorë të përsosur
Një katror i përsosur është produkt i një numri në vetvete, për shembull 81, i cili është një produkt prej 9 x 9. Për të thjeshtuar një katror të përsosur, thjesht hiqni rrënjën katrore dhe shkruani rrënjën katrore të numrit.
- Për shembull, 121 është një katror i përsosur sepse 11 x 11 është i barabartë me 121. Pra, ju mund të thjeshtoni rrënjën (121) në 11, duke hequr shenjën rrënjë.
- Për ta bërë këtë hap më të lehtë, do t'ju duhet të mbani mend dymbëdhjetë katrorët e parë të përsosur: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Hapi 2. Thjeshtoni të gjitha rrënjët që përmbajnë kube të përsosura
Një kub i përsosur është produkt i shumëzimit të një numri në vetvete dy herë, për shembull 27, i cili është produkt i 3 x 3 x 3. Për të thjeshtuar formën rrënjësore të një kubi të përsosur, thjesht hiqni rrënjën katrore dhe shkruani rrënjën katrore të numrit.
Për shembull, 343 është një kub i përsosur sepse është produkt i 7 x 7 x 7. Pra rrënja e kubit të 343 është 7
Metoda 2 nga 6: Shndërrimi i thyesave në rrënjë
Ose ndryshoni anasjelltas (ndihmon ndonjëherë), por mos i përzieni ato në të njëjtën deklaratë si rrënja (5) + 5^(3/2). Ne do të supozojmë se ju doni të përdorni formën rrënjë dhe ne do të përdorim simbolet rrënjë (n) për rrënjën katrore dhe sqrt^3 (n) për rrënjën kubike.
Hapi 1. Merrni një në fuqinë e thyesës dhe shndërroni atë në formën rrënjë, për shembull x^(a/b) = rrënjë në fuqinë b të x^a
Nëse rrënja katrore është në formë thyese, kthejeni atë në formë të rregullt. Për shembull, rrënja katrore (2/3) e 4 = rrënja (4)^3 = 2^3 = 8
Hapi 2. Shndërroni eksponentët negativë në thyesa, për shembull x^-y = 1/x^y
Kjo formulë vlen vetëm për eksponentët konstantë dhe racionalë. Nëse keni të bëni me një formë si 2^x, mos e ndryshoni, edhe nëse problemi tregon se x mund të jetë një thyesë ose një numër negativ
Hapi 3. Bashkoni të njëjtin fis dhe thjeshtoni formën racionale që rezulton.
Metoda 3 nga 6: Eliminimi i thyesave në rrënjë
Formula standarde kërkon që rrënja të jetë një numër i plotë.
Hapi 1. Shikoni numrin nën rrënjën katrore nëse ai ende përmban një thyesë
Nëse akoma,…
Hapi 2. Kaloni në një fraksion të përbërë nga dy rrënjë duke përdorur rrënjën e identitetit (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Mos e përdorni këtë identitet nëse emëruesi është negativ, ose nëse është një ndryshore që mund të jetë negative. Në këtë rast, thjeshtoni së pari thyesën
Hapi 3. Thjeshtoni çdo katror të përsosur të rezultatit
Kjo do të thotë, konvertoni sqrt (5/4) në sqrt (5)/sqrt (4), pastaj thjeshtoni në sqrt (5)/2.
Hapi 4. Përdorni metoda të tjera thjeshtimi siç janë thjeshtimi i thyesave komplekse, kombinimi i termave të barabartë, etj
Metoda 4 nga 6: Kombinimi i Rrënjëve të Shumëzimit
Hapi 1. Nëse po shumëzoni një formë rrënjë me një tjetër, kombinoni të dyja në një rrënjë katrore duke përdorur formulën:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Për shembull, ndryshoni rrënjën (2)*rrënjën (6) në rrënjë (12).
- Identiteti i mësipërm, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), është i vlefshëm nëse numri nën shenjën e sqrt nuk është negativ. Mos e përdorni këtë formulë kur a dhe b janë negative sepse do të bëni gabim duke bërë sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Deklarata në të majtë është e barabartë me -1 (ose e pacaktuar nëse nuk përdorni numra kompleks) ndërsa deklarata në të djathtë është +1. Nëse a dhe/ose b janë negative, së pari "ndryshoni" shenjën si sqrt (-5) = i*sqrt (5). Nëse forma nën shenjën rrënjë është një ndryshore, shenja e së cilës është e panjohur nga konteksti ose mund të jetë pozitive ose negative, lëreni ashtu siç është për momentin. Ju mund të përdorni identitetin më të përgjithshëm, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) i cili vlen për të gjithë numrat real a dhe b, por zakonisht kjo formulë nuk ndihmon shumë sepse shton kompleksitetin e përdorimit të funksionit sgn (signum).
- Ky identitet është i vlefshëm vetëm nëse format e rrënjëve kanë të njëjtin eksponent. Ju mund të shumëzoni rrënjë të ndryshme katrore si sqrt (5)*sqrt^3 (7) duke i kthyer ato në të njëjtën rrënjë katrore. Për ta bërë këtë, shndërroni përkohësisht rrënjën katrore në një fraksion: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6) Pastaj përdorni rregullin e shumëzimit për të shumëzuar të dy në rrënjën katrore të 6125.
Metoda 5 nga 6: Heqja e Faktorit Katror nga Rrënja
Hapi 1. Faktorizimi i rrënjëve të papërsosura në faktorë kryesorë
Një faktor është një numër që kur shumëzohet me një numër tjetër formon një numër - për shembull, 5 dhe 4 janë dy faktorë prej 20. Për të thyer rrënjët e papërsosura, shënoni të gjithë faktorët e numrit (ose sa më shumë që të jetë e mundur, nëse numri është shumë i madh) derisa të keni gjetur një katror të përsosur.
Për shembull, përpiquni të gjeni të gjithë faktorët 45: 1, 3, 5, 9, 15 dhe 45. 9 është një faktor 45 dhe është gjithashtu një katror i përsosur (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Hapi 2. Hiqni të gjithë shumëzuesit që janë katrorë të përsosur nga rrënja katrore
9 është një katror i përsosur sepse është produkt i 3 x 3. Nxirrni 9 nga rrënja katrore dhe zëvendësojeni me 3 para rrënjës katrore, duke lënë 5 brenda rrënjës katrore. Nëse e "vendosni" 3 përsëri në rrënjën katrore, shumëzojeni vetë për të bërë 9, dhe nëse shumëzoni me 5 ajo kthen 45. 3 rrënjët e 5 është një mënyrë e thjeshtë për të shprehur rrënjën e 45.
Kjo është, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Hapi 3. Gjeni katrorin e përsosur në ndryshoren
Rrënja katrore e një katrori është | a | Me Ju mund ta thjeshtoni këtë vetëm në "a" nëse ndryshorja e njohur është pozitive. Rrënja katrore e a në fuqinë 3 kur zbërthehet në rrënjën katrore të një katrori a - mbani mend se eksponentët shtohen kur shumëzojmë dy numra në fuqinë e a, kështu që një katror në a është e barabartë me a në fuqia e tretë.
Prandaj, një shesh i përsosur në formën e një kube është një katror
Hapi 4. Hiqni ndryshoren që përmban katrorin e përsosur nga rrënja katrore
Tani, merrni një katror nga rrënja katrore dhe ndryshojeni në | a | Me Forma e thjeshtë e rrënjës a me fuqinë 3 është | a | rrënjë a.
Hapi 5. Kombinoni kushtet e barabarta dhe thjeshtoni të gjitha rrënjët e rezultateve të llogaritjes
Metoda 6 nga 6: Racionalizoni Emëruesin
Hapi 1. Formula standarde kërkon që emëruesi të jetë një numër i plotë (ose një polinom nëse përmban një ndryshore) sa më shumë që të jetë e mundur
-
Nëse emëruesi përbëhet nga një term nën shenjën rrënjë, si […]/rrënja (5), atëherë shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me atë rrënjë për të marrë […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*rrënjë (5)/5.
Për rrënjët e kubit ose më të larta, shumëzojeni me rrënjën e duhur në mënyrë që emëruesi të jetë racional. Nëse emëruesi është rrënja^3 (5), shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me sqrt^3 (5)^2
-
Nëse emëruesi konsiston në shtimin ose zbritjen e dy rrënjëve katrore si sqrt (2) + sqrt (6), shumëzoni kuantifikuesin dhe emëruesin me konjugatin e tyre, i cili është i njëjti formë, por me shenjën e kundërt. Pastaj […]/(rrënjë (2) + rrënjë (6)) = […] (rrënjë (2) -rrënjë (6))/(rrënjë (2) + rrënjë (6)) (rrënjë (2) -rrënjë (6)). Pastaj përdorni formulën e identitetit për ndryshimin e dy shesheve [(a + b) (ab) = a^2-b^2] për të racionalizuar emëruesin, për të thjeshtuar (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Kjo vlen edhe për emëruesit si 5 + sqrt (3) sepse të gjithë numrat e plotë janë rrënjë të numrave të plotë të tjerë. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Kjo metodë vlen edhe për shtimin e rrënjëve të tilla si sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Nëse i gruponi në (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) dhe shumëzoni me (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), përgjigja nuk është në formë racionale, por ende në një rrënjë+b*(30) ku a dhe b janë tashmë numra racionalë. Pastaj përsëritni procesin me konjugatet a+b*sqrt (30) dhe (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) do të jetë racionale. Në thelb, nëse mund ta përdorni këtë truk për të hequr një shenjë rrënjore në emërues, mund ta përsërisni shumë herë për të hequr të gjitha rrënjët.
- Kjo metodë mund të përdoret edhe për emëruesit që përmbajnë një rrënjë më të lartë, siç është rrënja e katërt e 3 ose rrënja e shtatë e 9. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me konjugatin e emëruesit. Fatkeqësisht, ne nuk mund të marrim drejtpërdrejt lidhjen e emëruesit dhe është e vështirë ta bëjmë këtë. Ne mund ta gjejmë përgjigjen në një libër algjebër mbi teorinë e numrave, por unë nuk do të hyj në këtë.
Hapi 2. Tani emëruesi është në formë racionale, por numëruesi duket i rrëmujshëm
Tani gjithçka që duhet të bësh është ta shumëzosh me konjugatën e emëruesit. Vazhdoni dhe shumëzoni siç do të shumëzonim polinomet. Kontrolloni nëse ndonjë term mund të hiqet, thjeshtohet ose kombinohet, nëse është e mundur.
Hapi 3. Nëse emëruesi është një numër i plotë negativ, shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me -1 për ta bërë atë pozitiv
Këshilla
- Mund të kërkoni në internet për faqe që mund të ndihmojnë në thjeshtimin e formave rrënjësore. Thjesht shkruani ekuacionin me shenjën rrënjë, dhe pasi të shtypni Enter, përgjigja do të shfaqet.
- Për pyetje më të thjeshta, nuk mund të përdorni të gjitha hapat në këtë artikull. Për pyetje më komplekse, mund t'ju duhet të përdorni disa hapa më shumë se një herë. Përdorni hapat "e thjeshtë" disa herë dhe kontrolloni për të parë nëse përgjigja juaj i përshtatet kritereve standarde të formulimit që diskutuam më herët. Nëse përgjigja juaj është në formulën standarde, ju keni mbaruar; por nëse jo, mund të kontrolloni një nga hapat e mësipërm për t'ju ndihmuar ta bëni atë.
- Shumica e referencave në "formulën standarde të rekomanduar" për formën e rrënjëve vlejnë edhe për numrat kompleks (i = rrënja (-1)). Edhe nëse një deklaratë përmban një "i" në vend të një rrënje, shmangni emëruesit që ende përmbajnë një i sa më shumë që të jetë e mundur.
- Disa nga udhëzimet në këtë artikull supozojnë se të gjitha rrënjët janë katrore. Të njëjtat parime të përgjithshme zbatohen për rrënjët e fuqive më të larta, megjithëse disa pjesë (veçanërisht racionalizimi i emëruesit) mund të jenë mjaft të vështira për t'u punuar. Vendosni vetë se çfarë forme dëshironi, si sqr^3 (4) ose sqr^3 (2)^2. (Nuk mbaj mend se çfarë forme sugjerohet zakonisht në tekstet shkollore).
- Disa nga udhëzimet në këtë artikull përdorin fjalën "formula standarde" për të përshkruar "formën e rregullt". Dallimi është se formula standarde pranon vetëm formën 1+sqrt (2) ose sqrt (2) +1 dhe i konsideron format e tjera si jo standarde; Forma e thjeshtë supozon se ju, lexuesi, jeni mjaft të zgjuar për të parë "ngjashmërinë" e këtyre dy numrave edhe pse nuk janë identikë në shkrim ("e njëjta" do të thotë në vetinë e tyre aritmetike (shtimi komutativ), jo vetia e tyre algjebrike (rrënja (2) është rrënja jo-negative e x^2-2)). Shpresojmë që lexuesit të kuptojnë pakujdesinë e lehtë në përdorimin e kësaj terminologjie.
- Nëse ndonjë nga të dhënat duket e paqartë ose kontradiktore, bëni të gjitha hapat që janë të qartë dhe të qëndrueshëm, dhe më pas zgjidhni cilëndo formë që ju preferoni.
