Si të vizatoni një grafik katror: 10 hapa (me fotografi)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-02-01 14:15

Kur paraqitet grafikisht, ekuacioni kuadratik është i formës sëpatë² + bx + c ose a (x - h)² + k formojnë shkronjën U ose një kurbë U të përmbysur të quajtur parabolë. Grafikimi i një ekuacioni kuadratik është duke kërkuar kulmin, drejtimin dhe shpesh kryqëzimin x dhe y. Në rastet e ekuacioneve mjaft të thjeshta kuadratike, futja e një grupi vlerash x dhe vizatimi i kurbës bazuar në pikat rezultuese mund të jetë e mjaftueshme. Shihni Hapi 1 më poshtë për të filluar.

Hapi

Hapi 1. Përcaktoni formën e ekuacionit kuadratik që keni

Ekuacionet kuadratike mund të shkruhen në tri forma të ndryshme: formë e përgjithshme, formë kulmi dhe formë kuadratike. Ju mund të përdorni çdo formë për të grafikuar një ekuacion kuadratik; procesi i përshkrimit të secilit grafik është paksa i ndryshëm. Nëse jeni duke bërë detyrat e shtëpisë, zakonisht do të merrni pyetje në njërën nga këto dy forma - me fjalë të tjera, nuk do të jeni në gjendje të zgjidhni, kështu që është mirë t'i kuptoni të dyja. Dy format e ekuacionit kuadratik janë:

• Forma e përgjithshme.

  Në këtë formë, ekuacioni kuadratik shkruhet si: f (x) = ax² + bx + c ku a, b dhe c janë numra realë dhe a nuk është zero.

  Për shembull, dy ekuacione kuadratike të formës së përgjithshme janë f (x) = x² + 2x + 1 dhe f (x) = 9x² + 10x -8.

• Formë kulmi.

  Në këtë formë, ekuacioni kuadratik shkruhet si: f (x) = a (x - h)² + k ku a, h dhe k janë numra realë dhe a nuk është zero. Quhet forma kulmi sepse h dhe k do të japin menjëherë kulmin (pikën e mesit) të parabolës suaj në pikën (h, k).

  Dy ekuacionet e formës kulm janë f (x) = 9 (x - 4)² + 18 dhe -3 (x - 5)² + 1

• Për të grafikuar çdo lloj ekuacioni, së pari duhet të gjejmë kulmin e parabolës, e cila është pika e mesit (h, k) në fund të kurbës. Koordinatat e majave në formën e përgjithshme llogariten si: h = -b/2a dhe k = f (h), ndërsa në formën e pikut, h dhe k janë në ekuacion.

Hapi 2. Përcaktoni variablat tuaja

Për të zgjidhur një problem kuadratik, zakonisht duhet të përcaktohen variablat a, b dhe c (ose a, h dhe k). Një problem i zakonshëm i algjebrës do të japë një ekuacion kuadratik me variablat në dispozicion, zakonisht në formë të përgjithshme, por nganjëherë në formë kulmi.

• Për shembull, për një ekuacion të formës së përgjithshme f (x) = 2x² + 16x + 39, kemi a = 2, b = 16, dhe c = 39.
• Për ekuacionin e formës kulmore f (x) = 4 (x - 5)² + 12, kemi a = 4, h = 5 dhe k = 12.

Hapi 3. Njehso h

Në ekuacionin e formës kulm, vlera juaj h është dhënë tashmë, por në ekuacionin e formës së përgjithshme, vlera h duhet të llogaritet. Mos harroni se, për ekuacionet e formës së përgjithshme, h = -b/2a.

• Në formën tonë të përgjithshme shembull (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Pas zgjidhjes, gjejmë se h = - 4.
• Në shembullin tonë të formës kulmore (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ne e dimë se h = 5 pa bërë ndonjë matematikë.

Hapi 4. Njehso k

Ashtu si h, k tashmë njihet në ekuacionin e formës së pikut. Për ekuacionet e formës së përgjithshme, mbani mend se k = f (h). Me fjalë të tjera, ju mund të gjeni k duke zëvendësuar të gjitha vlerat x në ekuacionin tuaj me vlerat h që sapo keni gjetur.

• Ne kemi përcaktuar tashmë në formën tonë të përgjithshme shembull që h = -4. Për të gjetur k, ne zgjidhim ekuacionin tonë duke futur vlerën tonë të h në vend të x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Hapi 7.

• Në shembullin tonë të formës kulmore, përsëri, ne e dimë vlerën e k (e cila është 12) pa pasur nevojë të bëjmë ndonjë matematikë.

Hapi 5. Vizatoni kulmin tuaj

Kulmi i parabolës suaj është pika (h, k)-h përfaqëson koordinatën x, ndërsa k përfaqëson koordinatën y. Kulmi është pika e mesme e parabolës suaj - ose në fund të U ose në krye të U. të përmbysur. Njohja e kulmeve është një pjesë e rëndësishme e vizatimit të një parabole të saktë - shpesh, në detyrat e shkollës, përcaktimi i kulmit është pjesa që duhet kërkuar në një pyetje.

• Në shembullin tonë të përgjithshëm, kulmi ynë është (-4, 7). Kështu, parabola jonë do të kulmojë 4 hapa në të majtë nga 0 dhe 7 hapa më lart (0, 0). Ne duhet ta përshkruajmë këtë pikë në grafikun tonë, duke u siguruar që të shënojmë koordinatat.
• Në shembullin tonë të formës kulmore, kulmi ynë është (5, 12). Ne duhet të tërheqim një pikë 5 hapa në të djathtë dhe 12 hapa më lart (0, 0).

Hapi 6. Vizatoni boshtin e parabolës (sipas dëshirës)

Boshti i simetrisë së një parabolë është një vijë që kalon nëpër qendrën e saj, duke e ndarë atë saktësisht në mes. Në këtë aks, ana e majtë e parabolës do të pasqyrojë anën e djathtë. Për ekuacionet kuadratike në formën bosht² + bx + c ose a (x - h)² + k, boshti i simetrisë është vija që është paralele me boshtin y (me fjalë të tjera, saktësisht vertikale) dhe kalon nëpër kulm.

Në rastin e shembullit tonë të përgjithshëm të formës, boshti është vija paralele me boshtin y dhe që kalon nëpër pikën (-4, 7). Edhe pse nuk është pjesë e parabolës, shënimi i hollë i kësaj linje në grafikun tuaj do t'ju ndihmojë përfundimisht të shihni formën simetrike të kurbës së parabolës

Hapi 7. Gjeni drejtimin e hapjes së parabolës

Pasi të kemi njohur kulmin dhe boshtin e parabolës, më pas duhet të dimë nëse parabola hapet lart ose poshtë. Për fat të mirë, kjo është e lehtë. Nëse vlera e a është pozitive, parabola do të hapet lart, ndërsa nëse vlera e a është negative, parabola do të hapet poshtë (dmth. Parabola do të përmbyset).

• Për formën tonë të përgjithshme shembull (f (x) = 2x² + 16x + 39), ne e dimë që kemi një parabolë që hapet sepse, në ekuacionin tonë, a = 2 (pozitiv).
• Për shembullin e formës sonë kulmore (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ne e dimë që ne gjithashtu kemi një parabolë që hapet sepse a = 4 (pozitive).

Hapi 8. Nëse është e nevojshme, gjeni dhe vizatoni përgjimin x

Shpesh, në detyrat e shkollës, do t'ju kërkohet të gjeni ndërprerjen x në parabolë (e cila është një ose dy pika ku parabola takon boshtin x). Edhe nëse nuk gjeni një, këto dy pika janë shumë të rëndësishme për të nxjerrë një parabolë të saktë. Sidoqoftë, jo të gjitha parabolat kanë një ndërprerje x. Nëse parabola juaj ka një kulm që hapet dhe kulmi i saj është mbi boshtin x ose nëse hapet poshtë dhe kulmi i saj është nën boshtin x, parabola nuk do të ketë ndërprerje xMe Përndryshe, zgjidh përgjimin tuaj x në një nga mënyrat e mëposhtme:

• Thjesht bëni f (x) = 0 dhe zgjidhni ekuacionin. Kjo metodë mund të përdoret për ekuacione të thjeshta kuadratike, veçanërisht në formën e pikut, por do të jetë shumë e vështirë për ekuacionet komplekse. Shihni më poshtë për një shembull

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Rrënja (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 dhe 13 është përgjimi x në parabolë.

• Faktorizoni ekuacionin tuaj. Disa ekuacione në formën sëpatë² + bx + c lehtë mund të faktorizohet në formën (dx + e) (fx + g), ku dx × fx = sëpatë², (dx × g + fx × e) = bx, dhe e × g = c Në këtë rast, përgjimet tuaja x janë vlera x të cilat do të bëjnë çdo term në kllapa = 0. Për shembull:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Në këtë rast, përgjimi juaj i vetëm x është -1 sepse bërja e x të barabartë me -1 do të bëjë që çdo term faktor në kllapa të jetë i barabartë me 0.

• Përdorni formulën kuadratike. Nëse nuk mund ta zgjidhni me lehtësi x-interceptin tuaj ose faktorin ekuacionin tuaj, përdorni një ekuacion special të quajtur një formulë kuadratike që është krijuar për këtë qëllim. Nëse nuk është zgjidhur ende, shndërroni ekuacionin tuaj në formën e sëpatës² + bx + c, pastaj futni a, b dhe c në formulën x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Vini re se kjo metodë shpesh ju jep dy përgjigje për vlerën e x, e cila është në rregull-thjesht do të thotë që parabola juaj ka dy x-përgjime. Shihni më poshtë për një shembull:

  • -5x² + 1x + 10 futet në formulën kuadratike si kjo:
  • x = (-1 +/- Rrënja (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Rrënja (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Rrënja (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) dhe (-15, 18/-10). Ndërprerja x në parabolë është x = - 1, 318 dhe 1, 518
  • Shembulli ynë i mëparshëm i formës së përgjithshme, 2x² +16x+39 futet në formulën kuadratike si më poshtë:
  • x = (-16 +/- Rrënja (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Rrënja (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Rrënja (-56)/-10
  • Meqenëse është e pamundur të gjesh rrënjën katrore të një numri negativ, ne e dimë se kjo parabolë nuk ka ndërprerje x.

Hapi 9. Nëse është e nevojshme, gjeni dhe vizatoni përgjimin y

Ndërsa shpesh nuk është e nevojshme të kërkoni ndërprerjen y në ekuacione (pika ku parabola kalon nëpër boshtin y), mund t’ju duhet ta gjeni, veçanërisht nëse jeni në shkollë. Procesi është mjaft i thjeshtë-thjesht bëni x = 0, pastaj zgjidhni ekuacionin tuaj për f (x) ose y, i cili jep vlerën e y aty ku parabola juaj kalon nëpër boshtin y. Për dallim nga përgjimi x, një parabolë e rregullt mund të ketë vetëm një ndërprerje y. Shënim-për ekuacionet e formës së përgjithshme, ndërprerja y është në y = c.

• Për shembull, ne e dimë se ekuacioni ynë kuadratik është 2x² + 16x + 39 ka një ndërprerje y në y = 39, por gjithashtu mund të gjendet në mënyrën e mëposhtme:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Ndërprerja y e parabolës është në y = 39.

    Siç u tha më lart, ndërprerja y është në y = c.

• Forma e ekuacionit tonë kulmor është 4 (x - 5)² + 12 ka një interceptim y i cili mund të gjendet në mënyrën e mëposhtme:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Ndërprerja y e parabolës është në y = 112.

Hapi 10. Nëse është e nevojshme, vizatoni pika shtesë, pastaj vizatoni një grafik

Tani ju keni kulmin, drejtimin, x-interceptimin dhe ndoshta, y-interceptimin në ekuacionin tuaj. Në këtë fazë, mund të përpiqeni të vizatoni parabolën tuaj duke përdorur pikat që keni si udhëzues, ose të kërkoni pika të tjera për të plotësuar parabolën tuaj në mënyrë që kurba që vizatoni të jetë më e saktë. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është thjesht të futni disa vlera x në çdo anë të kulmit tuaj, pastaj vizatoni këto pika duke përdorur vlerat y që merrni. Shpesh, mësuesit ju kërkojnë të kërkoni disa pika para se të vizatoni parabolën tuaj.

• Le të rishikojmë ekuacionin x² + 2x + 1. Ne tashmë e dimë se ndërprerja x është vetëm në x = -1. Meqenëse kurba prek vetëm interceptimin x në një pikë, mund të konkludojmë se kulmi është ndërprerja e tij x, që do të thotë se kulmi është (-1, 0). Ne kemi efektivisht vetëm një pikë për këtë parabolë - jo të mjaftueshme për të nxjerrë një parabolë të mirë. Le të shikojmë për disa pika të tjera për t'u siguruar që kemi nxjerrë një grafik të plotë.

  • Le të gjejmë vlerat y për vlerat e mëposhtme x: 0, 1, -2 dhe -3.
  • Për 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Pika jonë është (0, 1).

  • Për 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Pika jonë është (1, 4).

  • Për -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Pika jonë është (-2, 1).

  • Për -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Pika jonë është (-3, 4).

  • Vizatoni këto pika në grafik dhe vizatoni kurbën tuaj në formë U. Vini re se parabola është krejtësisht simetrike - kur pikat tuaja në njërën anë të parabolës janë numra të plotë, zakonisht mund të zvogëloni punën e thjesht pasqyrimit të një pike të caktuar në boshtin e simetrisë së parabolës për të gjetur të njëjtën pikë në anën tjetër të parabolës Me

Këshilla

• Rrumbullakoni numrat ose përdorni thyesa sipas kërkesës së mësuesit tuaj të algjebrës. Kjo do t'ju ndihmojë të grafikoni më mirë ekuacionin kuadratik.
• Vini re se në f (x) = ax² + bx + c, nëse b ose c është e barabartë me zero, këta numra do të zhduken. Për shembull, 12 herë² + 0x + 6 bëhet 12x² + 6 sepse 0x është 0.