Si të thjeshtoni ekuacionet matematikore: 13 hapa

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-15 08:24

Nxënësve të matematikës u kërkohet shpesh të shkruajnë përgjigjet e tyre në formën e tyre më të thjeshtë - me fjalë të tjera, të shkruajnë përgjigjet sa më elegante të jetë e mundur. Edhe pse ekuacionet e gjata, të ngurta dhe të shkurtra, si dhe elegante, janë teknikisht e njëjta gjë, shpesh, një problem matematikor nuk konsiderohet i plotë nëse përgjigja përfundimtare nuk reduktohet në formën e tij më të thjeshtë. Gjithashtu, përgjigja në formën e saj më të thjeshtë është pothuajse gjithmonë ekuacioni më i lehtë për të punuar. Për këtë arsye, të mësosh se si të thjeshtosh ekuacionet është një aftësi e rëndësishme për matematikanët.

Hapi

Metoda 1 nga 2: Përdorimi i sekuencës së operacionit

Hapi 1. Njihni rendin e operacioneve

Kur thjeshtoni shprehjet matematikore, nuk mund të punoni vetëm nga e majta në të djathtë, duke shumëzuar, shtuar, zbritur dhe kështu me radhë nga e majta në të djathtë. Disa operacione matematikore duhet të kenë përparësi ndaj të tjerëve dhe të bëhen së pari. Në fakt, përdorimi i rendit të gabuar të operacioneve mund të japë përgjigjen e gabuar. Rendi i operacioneve është: pjesa në kllapa, eksponenti, shumëzimi, pjesëtimi, mbledhja dhe së fundi, zbritja. Një akronim që mund të përdorni për të kujtuar është sepse nëna nuk është e mirë, e keqe dhe e varfër.

Vini re se, ndërsa një njohuri themelore e rendit të operacioneve mund të thjeshtojë ekuacionet më themelore, kërkohen teknika të veçanta për të thjeshtuar shumë ekuacione të ndryshueshme, duke përfshirë pothuajse të gjitha polinomet. Shihni metodën e dytë të mëposhtme për më shumë informacion

Hapi 2. Filloni duke plotësuar të gjitha pjesët në kllapa

Në matematikë, kllapat tregojnë se pjesa e brendshme duhet të llogaritet veçmas nga shprehja që është jashtë kllapave. Pavarësisht se cilat operacione janë brenda kllapave, sigurohuni që së pari të plotësoni pjesën brenda kllapave kur përpiqeni të thjeshtoni një ekuacion. Për shembull, në kllapa, duhet të shumoheni para se të shtoni, zbritni, etj.

• Për shembull, le të përpiqemi të thjeshtojmë ekuacionin 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). Në këtë ekuacion, së pari duhet të zgjidhim pjesën brenda kllapave, përkatësisht 5 + 2 dhe 3 + 4/2. 5 + 2 =

  Hapi 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Hapi 5

  Pjesa në kllapën e dytë thjeshtohet në 5 sepse sipas rendit të operacioneve, ne ndajmë 4/2 së pari në kllapa. Nëse punojmë vetëm nga e majta në të djathtë, së pari shtojmë 3 dhe 4, pastaj ndajmë me 2, duke dhënë përgjigjen e gabuar 7/2

• Shënim - nëse ka kllapa të shumta në kllapa, plotësoni pjesën në kllapën më të brendshme, pastaj pjesën e dytë më të brendshme, etj.

Hapi 3. Zgjidhni eksponentin

Pas përfundimit të kllapave, më pas, zgjidhni eksponentin e ekuacionit tuaj. Kjo është e lehtë të mbahet mend sepse në eksponentët, numri bazë dhe fuqia në fuqi janë pranë njëri -tjetrit. Gjeni përgjigjen për secilën pjesë të eksponentit, pastaj lidhni përgjigjen tuaj në ekuacion për të zëvendësuar pjesën eksponente.

Pas përfundimit të pjesës në kllapa, ekuacioni ynë shembull bëhet tani 2x + 4 (7) + 3² - 5 E vetmja eksponenciale në shembullin tonë është 3², e cila është e barabartë me 9. Shtoni këtë rezultat në ekuacionin tuaj për të zëvendësuar 3² duke rezultuar në 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Hapi 4. Zgjidh problemin e shumëzimit në ekuacionin tënd

Tjetra, bëni çfarëdo shumëzimi që nevojitet në ekuacionin tuaj. Mos harroni se shumëzimi mund të shkruhet në disa mënyra. Pika, ose simboli yll është një mënyrë për të treguar shumëzimin. Sidoqoftë, një numër pranë kllapave ose një ndryshore (si 4 (x)) gjithashtu përfaqëson një shumëzim.

• Ka dy pjesë për t'u shumëzuar në problemin tonë: 2x (2x është 2 × x) dhe 4 (7). Ne nuk e dimë vlerën e x, kështu që ne e lëmë atë në 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  Hapi 28. Me Ne mund të rishkruajmë ekuacionin tonë të jetë 2x + 28 + 9 - 5.

Hapi 5. Vazhdoni në ndarje

Kur jeni duke kërkuar probleme të pjesëtimit në ekuacionet tuaja, mbani në mend se, si shumëzimi, pjestimi mund të shkruhet në një numër mënyrash. Një nga këto është simboli, por mbani në mend se pikat e shkurtra dhe të shkurtra si në thyesa (p.sh. 3/4) gjithashtu tregojnë ndarjen.

Sepse ne tashmë e kemi bërë ndarjen (4/2) kur kemi përfunduar pjesët në kllapa. Shembulli ynë nuk ka tashmë një problem të ndarjes, kështu që ne do ta kalojmë këtë hap. Kjo tregon një pikë të rëndësishme - nuk keni nevojë të kryeni të gjitha operacionet kur thjeshtoni një shprehje, vetëm operacionet e përfshira në problemin tuaj

Hapi 6. Tjetra, shtoni gjithçka që është në ekuacionin tuaj

Mund të punoni nga e majta në të djathtë, por është më e lehtë të shtoni së pari numrat që shtohen lehtë. Për shembull, në problemin 49 + 29 + 51 + 71, është më e lehtë të shtosh 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100, dhe 100 + 100 = 200, sesa 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, dhe 129 + 71 = 200.

Shembulli ynë i ekuacionit është thjeshtuar pjesërisht në 2x + 28 + 9 - 5. Tani, ne duhet të shtojmë numrat që mund të shtojmë - le të shikojmë çdo problem shtesë nga e majta në të djathtë. Ne nuk mund të shtojmë 2x dhe 28 sepse nuk e dimë vlerën e x, kështu që thjesht do ta anashkalojmë. 28 + 9 = 37, mund të rishkruhet si 2x + 37 - 5.

Hapi 7. Hapi i fundit i sekuencës së operacioneve është zbritja

Vazhdoni problemin tuaj duke zgjidhur problemet e zbritjes së mbetur. Ju mund të jeni në gjendje të mendoni për zbritjen si shtimin e numrave negativë në këtë hap, ose duke përdorur të njëjtat hapa si për një problem të rregullimit të mbledhjes - zgjedhja juaj nuk do të ndikojë në përgjigjen tuaj.

• Në problemin tonë, 2x + 37 - 5, ekziston vetëm një problem i zbritjes. 37 - 5 =

  Hapi 32.

Hapi 8. Kontrolloni ekuacionin tuaj

Pas zgjidhjes duke përdorur rendin e operacioneve, ekuacioni juaj duhet të thjeshtohet në formën e tij më të thjeshtë. Sidoqoftë, nëse ekuacioni juaj përmban një ose më shumë ndryshore, kuptoni që ndryshoret tuaja nuk kanë nevojë të punohen. Për të thjeshtuar një ndryshore, ose duhet të gjeni vlerën e ndryshores tuaj ose të përdorni teknika të veçanta për të thjeshtuar shprehjen (shihni hapin më poshtë).

Përgjigja jonë përfundimtare është 2x + 32. Ne nuk mund ta zgjidhim këtë shtesë përfundimtare nëse nuk e dimë vlerën e x, por nëse do ta dinim vlerën e tij, ky ekuacion do të ishte shumë më i lehtë për t'u zgjidhur sesa ekuacioni ynë i gjatë origjinal

Metoda 2 nga 2: Thjeshtimi i ekuacioneve komplekse

Hapi 1. Shtoni pjesët që kanë të njëjtën ndryshore

Kur zgjidhni ekuacionet e ndryshueshme, mbani mend se pjesët që kanë të njëjtën ndryshore dhe eksponent (ose të njëjtën ndryshore) mund të shtohen dhe zbriten si numrat normalë. Kjo pjesë duhet të ketë të njëjtën ndryshore dhe eksponent. Për shembull, mund të shtohen 7x dhe 5x, por 7x dhe 5x² nuk mund të shtohen.

• Ky rregull vlen edhe për disa ndryshore. Për shembull, 2xy² mund të përmblidhet me -3xy², por nuk mund të përmblidhet me -3x²y ose -3y².
• Shih ekuacionin x² + 3x + 6 - 8x. Në këtë ekuacion, ne mund të shtojmë 3x dhe -8x sepse ato kanë të njëjtën ndryshore dhe eksponent. Ekuacioni i thjeshtë bëhet x² - 5x + 6.

Hapi 2. Thjeshtoni numrat thyesorë duke i ndarë ose duke i kaluar faktorët

Thyesat që kanë vetëm numra (dhe pa ndryshore) në numërues dhe emërues mund të thjeshtohen në disa mënyra. E para, dhe ndoshta më e lehtë, është të mendosh për thyesën si një problem të pjesëtimit dhe të ndash emëruesin me numëruesin. Gjithashtu, çdo faktor i shumëzimit që shfaqet në numëruesin dhe emëruesin mund të tejkalohet sepse pjesëtimi i dy faktorëve rezulton në numrin 1.

Për shembull, shikoni thyesën 36/60. Nëse kemi një kalkulator, mund ta ndajmë për të marrë përgjigjen 0, 6Me Sidoqoftë, nëse nuk kemi një kalkulator, prapëseprapë mund ta thjeshtojmë atë duke anashkaluar të njëjtët faktorë. Një mënyrë tjetër për të imagjinuar 36/60 është (6 × 6)/(6 × 10). Ky thyesë mund të shkruhet si 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, kështu që thyesa jonë është në të vërtetë 1 6/10 = 6/10. Sidoqoftë, ne nuk kemi mbaruar akoma - si 6 ashtu edhe 10 kanë të njëjtin faktor, që është 2. Duke përsëritur metodën e mësipërme, rezultati bëhet 3/5.

Hapi 3. Në thyesën e ndryshueshme, kryqëzoni të gjithë faktorët e ndryshores

Ekuacionet e ndryshueshme në formën e thyesës kanë një mënyrë unike të thjeshtimit. Ashtu si thyesat e zakonshme, thyesat e ndryshueshme ju lejojnë të eliminoni faktorët që kanë të përbashkët si numëruesi ashtu edhe emëruesi. Sidoqoftë, në thyesat e ndryshueshme, këta faktorë mund të jenë numra dhe ekuacione të ndryshores aktuale.

• Le të themi ekuacionin (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Ky thyesë mund të shkruhet si (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x shfaqet si në numërues ashtu edhe në emërues. Duke i kaluar këta faktorë jashtë ekuacionit, rezultati bëhet (x + 1)/(5 - x). Njësoj si në shprehje (2x² + 4x + 6)/2, meqenëse secila pjesë është e ndashme me 2, ne mund të shkruajmë ekuacionin si (2 (x² + 2x + 3))/2 dhe pastaj thjeshtohet në x² + 2x + 3.
• Vini re se nuk mund të kryqëzoni të gjitha pjesët - mund të anashkaloni vetëm faktorët e shumëzimit që shfaqen në numëruesin dhe emëruesin. Për shembull, në shprehjen (x (x + 2))/x, x mund të tejkalohet si nga numëruesi ashtu edhe nga emëruesi, në mënyrë që të bëhet (x + 2)/1 = (x + 2). Sidoqoftë, (x + 2)/x nuk mund të kalohet në 2/1 = 2.

Hapi 4. Shumëzoni pjesën në kllapa me konstanten

Kur shumëzoni pjesën që ka ndryshoren në kllapa me një konstante, ndonjëherë shumëzimi i secilës pjesë në kllapa me një konstante mund të rezultojë në një ekuacion më të thjeshtë. Kjo vlen për konstantet që përbëhen vetëm nga numra dhe konstante që kanë ndryshore.

• Për shembull, ekuacioni 3 (x² + 8) mund të thjeshtohet në 3x² + 24, ndërsa 3x (x² + 8) mund të thjeshtohet në 3x³ + 24x
• Vini re se, në disa raste, siç janë thyesat e ndryshueshme, konstantet rreth kllapave mund të kryqëzohen kështu që nuk kanë nevojë të shumëzohen me pjesën në kllapa. Në thyesa (3 (x² + 8))/3x, për shembull, faktori 3 shfaqet si në numërues ashtu edhe në emërues, kështu që ne mund ta kalojmë atë dhe ta thjeshtojmë shprehjen në (x² + 8)/x Kjo shprehje është më e thjeshtë dhe më e lehtë për të punuar me të sesa (3x³ + 24x)/3x, cili është rezultati që do të marrim nëse e shumëzojmë.

Hapi 5. Thjeshtoni duke u faktorizuar

Faktorizimi është një teknikë që mund të përdoret për të thjeshtuar disa shprehje të ndryshueshme, përfshirë polinomet. Mendoni faktorizimin si të kundërtën e shumëzimit me pjesën në kllapa në hapin e mësipërm - ndonjëherë, një shprehje mund të mendohet si dy pjesë që shumëzohen me njëra -tjetrën, sesa një shprehje unitare. Kjo është veçanërisht e vërtetë nëse faktorizimi i një ekuacioni ju lejon të kaloni një nga pjesët e tij (si në thyesa). Në raste të caktuara (shpesh me ekuacione kuadratike), faktorizimi madje mund t'ju lejojë të gjeni zgjidhjen e ekuacionit.

• Le të supozojmë përsëri shprehjen x² - 5x + 6. Kjo shprehje mund të faktorizohet në (x - 3) (x - 2). Pra, nëse x² - 5x + 6 është numëruesi i një ekuacioni të caktuar ku emëruesi ka një nga këta faktorë, si në shprehjen (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), mund të dëshirojmë ta shkruajmë në formë faktori, në mënyrë që të kalojmë faktorin me emëruesin. Me fjalë të tjera, në (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)), pjesa (x - 2) mund të anashkalohet të jetë (x - 3)/2.

• Siç u theksua më lart, një arsye tjetër që ju mund të dëshironi të faktorizoni ekuacionet tuaja është se faktoringu mund t'ju japë përgjigje për ekuacione të caktuara, veçanërisht nëse ato janë të shkruara si të barabarta 0. Për shembull, ekuacioni x² - 5x + 6 = 0. Faktorizimi jep (x - 3) (x - 2) = 0. Meqenëse çdo numër i shumëzuar me zero është i barabartë me zero, ne e dimë se nëse ndonjë pjesë e kllapave është e barabartë me zero, i gjithë ekuacioni në të majtë të shenja e barabartë, është gjithashtu zero. Kështu që

  Hapi 3. da

  Hapi 2. janë dy përgjigjet e ekuacionit.