Si të thjeshtoni thyesat komplekse: 9 hapa (me fotografi)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-15 08:24

Një thyesë komplekse është një thyesë në të cilën numëruesi, emëruesi ose të dyja përmbajnë gjithashtu një thyesë. Për këtë arsye, fraksionet komplekse nganjëherë quhen "fraksione të grumbulluara". Thjeshtimi i thyesave komplekse mund të jetë i lehtë ose i vështirë, varësisht nga numri i numrave në numëruesin dhe emëruesin, nëse njëri prej numrave është një ndryshore, ose kompleksiteti i numrit të ndryshueshëm. Shihni Hapi 1 më poshtë për të filluar!

Hapi

Metoda 1 nga 2: Thjeshtimi i thyesave komplekse me shumëzim të anasjelltë

Hapi 1. Thjeshtoni numëruesin dhe emëruesin në një thyesë të vetme nëse është e nevojshme

Thyesat komplekse nuk janë gjithmonë të vështira për t'u zgjidhur. Në fakt, thyesat komplekse numëruesi dhe emëruesi i të cilave përmbajnë një thyesë të vetme janë zakonisht mjaft të lehta për t'u zgjidhur. Pra, nëse numëruesi ose emëruesi (ose të dy) i një thyese komplekse përmban thyesa ose thyesa të shumta dhe një numër të plotë, thjeshtojeni atë për të marrë një thyesë të vetme si në numërues ashtu edhe në emërues. Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të dy ose më shumë thyesave.

• Për shembull, le të themi se duam të thjeshtojmë një thyesë komplekse (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Së pari, ne do të thjeshtojmë numëruesin dhe emëruesin e një thyese komplekse në një thyesë të vetme.

  • Për të thjeshtuar numëruesin, përdorni LCM 15 të marrë duke shumëzuar 3/5 me dhe 3/3. Numëruesi do të jetë 9/15 + 2/15, që është i barabartë me 11/15.
  • Për të thjeshtuar emëruesin, ne do të përdorim rezultatin LCM prej 70 i cili fitohet duke shumëzuar 5/7 me 10/10 dhe 3/10 me 7/7. Emëruesi do të jetë 50/70 - 21/70, që është i barabartë me 29/70.
  • Kështu, fraksioni i ri kompleks është (11/15)/(29/70).

Hapi 2. Përmbys emëruesin për të gjetur reciprokun e tij

Sipas përkufizimit, pjesëtimi i një numri me një tjetër është i njëjtë me shumëzimin e numrit të parë me reciprocitetin e numrit të dytë. Tani që kemi një thyesë komplekse me një thyesë të vetme si në numërues ashtu edhe në emërues, ne do ta përdorim këtë ndarje për të thjeshtuar thyesën komplekse. Së pari, gjeni reciprokun e thyesës në fund të thyesës komplekse. Bëni këtë duke "përmbysur" thyesën - duke vënë numëruesin në vend të emëruesit dhe anasjelltas.

• Në shembullin tonë, thyesa në emëruesin e thyesës komplekse (11/15)/(29/70) është 29/70. Për të gjetur të kundërtën, ne e "përmbysim" atë në mënyrë që të marrim 70/29.

  Vini re se nëse një thyesë komplekse ka një numër të plotë në emërues, ne mund ta trajtojmë atë si një thyesë dhe të gjejmë atë reciproke. Për shembull, nëse thyesa komplekse është (11/15)/(29), ne mund ta bëjmë emëruesin 29/1, që do të thotë se reciproku është 1/29.

Hapi 3. Shumëzoni numëruesin e thyesës komplekse me reciprokun e emëruesit

Tani që kemi marrë reciprokun e emëruesit të thyesës komplekse, shumëzojeni atë me numëruesin për të marrë një thyesë të vetme të thjeshtë. Mos harroni se për të shumëzuar dy thyesa, ne vetëm kalojmë shumëzuar - numëruesi i thyesës së re është numri i numëruesit të dy thyesave të vjetra, si dhe emëruesi.

Në shembullin tonë, ne do të shumëzojmë 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 dhe 15 × 29 = 435. Pra, thyesa e re e thjeshtë është 770/435.

Hapi 4. Thjeshtoni thyesën e re duke gjetur faktorin më të madh të përbashkët

Ne tashmë kemi një thyesë të thjeshtë, kështu që gjithçka që duhet të bëjmë është të dalim me numrin më të thjeshtë. Gjeni faktorin më të madh të përbashkët (GCF) të numëruesit dhe emëruesit dhe ndani të dy me këtë numër për ta thjeshtuar atë.

Një nga faktorët e zakonshëm të 770 dhe 435 është 5. Pra, nëse ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 5, marrim 154/87Me 154 dhe 87 nuk kanë faktorë të përbashkët, kështu që kjo është përgjigja përfundimtare!

Metoda 2 nga 2: Thjeshtimi i thyesave komplekse që përmbajnë numra të ndryshueshëm

Hapi 1. Nëse është e mundur, përdorni metodën e shumëzimit të kundërt më sipër

Për të qenë të qartë, pothuajse të gjitha thyesat komplekse mund të thjeshtohen duke zbritur numëruesin dhe emëruesin me një thyesë të vetme dhe duke shumëzuar numëruesin me reciprokun e emëruesit. Thyesat komplekse që përmbajnë variabla përfshihen gjithashtu, megjithëse sa më komplekse të jetë shprehja e ndryshoreve në thyesat komplekse, aq më e vështirë dhe do të marrë kohë do të jetë përdorimi i shumëzimit të kundërt. Për thyesat komplekse "të lehta" që përmbajnë ndryshore, shumëzimi i anasjelltë është një zgjedhje e mirë, por thyesat komplekse me numra të ndryshueshëm të shumtë në numërues dhe emërues mund të jenë më të lehta për t'u thjeshtuar në mënyrën alternative të përshkruar më poshtë.

• Për shembull, (1/x)/(x/6) është e lehtë të thjeshtohet me shumëzim invers. 1/x × 6/x = 6/x²Me Këtu nuk ka nevojë të përdorni metoda alternative.
• Sidoqoftë, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) është më e vështirë të thjeshtohet me shumëzim invers. Reduktimi i numëruesit dhe emëruesit të thyesave komplekse në thyesa të vetme, shumëzimi i anasjelltë dhe zvogëlimi i rezultatit në numrat më të thjeshtë mund të jetë një proces i komplikuar. Në këtë rast, metoda alternative më poshtë mund të jetë më e lehtë.

Hapi 2. Nëse shumëzimi i kundërt nuk është praktik, filloni duke gjetur LCM të numrit thyesor në thyesën komplekse

Hapi i parë është gjetja e LCM e të gjithë numrave thyesorë në një thyesë komplekse - si në numërues ashtu edhe në emërues. Zakonisht, nëse një ose më shumë numra thyesorë kanë një numër në emërues, LCM është numri në emërues.

Kjo është më e lehtë për tu kuptuar me një shembull. Le të përpiqemi të thjeshtojmë thyesat komplekse të përmendura më lart, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Numrat thyesorë në këtë thyesë komplekse janë (1)/(x+3) dhe (1)/(x-5). LCM e dy thyesave është numri në emërues: (x+3) (x-5).

Hapi 3. Shumëzoni numëruesin e thyesës komplekse me LCM të sapo gjetur

Tjetra, ne duhet të shumëzojmë numrin në thyesën komplekse me LCM të numrit thyesor. Me fjalë të tjera, ne do të shumëzojmë të gjitha thyesat komplekse me (KPK)/(KPK). Ne mund ta bëjmë këtë në mënyrë të pavarur sepse (KPK)/(KPK) është e barabartë me 1. Së pari, shumëzoni vetë numëruesit.

• Në shembullin tonë, ne do të shumëzojmë thyesën komplekse, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), dmth ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Ne duhet të shumëzojmë përmes numëruesit dhe emëruesit të thyesës komplekse, duke shumëzuar secilin numër me (x + 3) (x-5).

  • Së pari, le të shumëzojmë numëruesit: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Hapi 4. Shumëzoni emëruesin e thyesës komplekse me LCM siç do të bënit me numëruesin

Vazhdoni të shumëzoni thyesën komplekse me LCM të gjetur duke vazhduar në emërues. Shumëzoni të gjithë, shumëzoni secilin numër me LCM.

• Emëruesi i fraksionit tonë kompleks, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), është x +4 +((1) // (x-5)). Ne do ta shumëzojmë atë me LCM të gjetur, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Hapi 5. Krijo një thyesë të re dhe të thjeshtuar nga numëruesi dhe emëruesi i sapo gjetur

Pas shumëzimit të thyesës me (KPK)/(KPK) dhe thjeshtimit të tij duke kombinuar numrat, rezultati është një thyesë e thjeshtë që nuk përmban një numër thyesor. Vini re se duke shumëzuar me LCM të numrit thyesor në thyesën komplekse origjinale, emëruesi i këtij thyesa do të shterohet dhe do të lërë numrin e ndryshueshëm dhe numrin e plotë në numëruesin dhe emëruesin e përgjigjes, pa asnjë thyesë.

Me numëruesin dhe emëruesin e gjetur më sipër, ne mund të ndërtojmë një thyesë që është e njëjtë me thyesën komplekse origjinale, por që nuk përmban numrin thyesor. Numëruesi që është marrë është x³ - 12x² + 6x + 145 dhe emëruesi që morëm ishte x³ + 2x² - 22x - 57, kështu që thyesa e re bëhet (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Këshilla

• Tregoni çdo hap të punës. Fraksionet mund të jenë konfuze nëse hapat numërohen shumë shpejt ose përpiqen ta bëjnë atë me zemër.
• Gjeni shembuj të thyesave komplekse në internet ose në libra. Ndiqni çdo hap derisa të mund të zotërohet.