Një ekuacion racional është një thyesë me një ose më shumë ndryshore në numërues ose emërues. Një ekuacion racional është çdo fraksion që përfshin të paktën një ekuacion racional. Ashtu si ekuacionet algjebrike të zakonshme, ekuacionet racionale zgjidhen duke kryer të njëjtin operacion në të dy anët e ekuacionit derisa ndryshoret të transferohen në secilën anë të ekuacionit. Dy teknika të veçanta, shumëzimi kryq dhe gjetja e emëruesit më të vogël të përbashkët, janë mënyra shumë të dobishme për të lëvizur variablat dhe për të zgjidhur ekuacionet racionale.
Hapi
Metoda 1 nga 2: Shumëzimi kryq
Hapi 1. Nëse është e nevojshme, rirregulloni ekuacionin tuaj për të marrë një fraksion në njërën anë të ekuacionit
Shumëzimi kryq është një mënyrë e shpejtë dhe e lehtë për të zgjidhur ekuacionet racionale. Fatkeqësisht, kjo metodë mund të përdoret vetëm për ekuacionet racionale që përmbajnë të paktën një ekuacion racional ose fraksion në secilën anë të ekuacionit. Nëse ekuacioni juaj nuk i plotëson këto kërkesa të produktit të kryqëzuar, mund t'ju duhet të përdorni operacione algjebrike për të lëvizur pjesët në vendet e duhura.
-
Për shembull, ekuacioni (x + 3)/4-x/(-2) = 0 lehtë mund të vendoset në formë produkti kryq duke shtuar x/(-2) në të dy anët e ekuacionit, në mënyrë që të bëhet (x + 3)/4 = x/(-2).
Vini re se numrat dhjetorë dhe të plotë mund të shndërrohen në thyesa duke dhënë emëruesin 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, për shembull, mund të rishkruhen si (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, duke e bërë atë të plotësojë kushtin e shumëzimit kryq
- Disa ekuacione racionale nuk mund të reduktohen lehtë në një formë që ka një fraksion ose ekuacion racional në secilën anë. Në raste të tilla, përdorni të njëjtën qasje më pak emëruese.
Hapi 2. Kryqi shumëzoni
Shumëzimi kryq nënkupton shumëzimin e një prej numëruesve të një thyese me emëruesin e një thyese tjetër dhe anasjelltas. Shumëzoni numëruesin e thyesës në të majtë me emëruesin e thyesës në të djathtë. Përsëriteni me emëruesin e djathtë me emëruesin e majtë.
Shumëzimi kryq funksionon sipas parimeve bazë algjebrike. Ekuacionet racionale dhe thyesat e tjera mund të bëhen jo-thyesa duke i shumëzuar me emëruesin. Produkti kryq është në thelb një mënyrë e shpejtë për të shumëzuar të dy anët e ekuacionit me të dy emëruesit. Nuk e besoj? Provojeni - do të merrni të njëjtin rezultat pasi ta keni thjeshtuar atë
Hapi 3. Bëni të dy produktet të barabartë me njëri -tjetrin
Pas shumëzimit kryq, do të merrni dy rezultate të shumëzimit. Bëni ato të barabarta me njëri -tjetrin dhe thjeshtojini për ta bërë ekuacionin sa më të thjeshtë.
Për shembull, nëse ekuacioni juaj racional origjinal ishte (x+3)/4 = x/(-2), pas shumëzimit kryq, ekuacioni juaj i ri bëhet -2 (x+3) = 4x. Nëse dëshironi, mund ta shkruani edhe si -2x - 6 = 4x
Hapi 4. Gjeni vlerën e ndryshores tuaj
Përdorni operacionet algjebrike për të gjetur vlerën e ndryshores së ekuacionit tuaj. Mos harroni se, nëse x shfaqet në të dy anët e ekuacionit, duhet të shtoni ose zbritni x nga të dy anët e ekuacionit për të lënë x vetëm në njërën anë të ekuacionit.
Në shembullin tonë, ne mund t'i ndajmë të dy anët e ekuacionit me -2, kështu që x+3 = -2x. Duke zbritur x nga të dy anët jep 3 = -3x. Së fundi, duke i ndarë të dy anët me -3, rezultati bëhet -1 = x, i cili mund të shkruhet si x = -1. Ne kemi gjetur vlerën e x, duke zgjidhur ekuacionin tonë racional
Metoda 2 nga 2: Gjetja e emëruesit më të vogël të përbashkët
Hapi 1. Njihni kohën e saktë për të përdorur të njëjtin emërues më të vogël
I njëjti emërues më i vogël mund të përdoret për të thjeshtuar ekuacionet racionale, duke i bërë ato të kërkueshme për vlera të ndryshueshme. Gjetja e emëruesit më të vogël të përbashkët është një ide e mirë nëse ekuacioni juaj racional nuk mund të shkruhet lehtë në terma të një fraksioni (dhe vetëm një fraksioni) në secilën anë të ekuacionit. Për zgjidhjen e ekuacioneve racionale me tre ose më shumë pjesë, emëruesi më i vogël i përbashkët është i dobishëm. Sidoqoftë, për të zgjidhur një ekuacion racional me vetëm dy pjesë, është më e shpejtë të përdoret produkti kryq.
Hapi 2. Kontrolloni emëruesin e secilës thyesë
Identifikoni numrin më të vogël që secili emërues mund të ndajë dhe të prodhojë një numër të plotë. Ky numër është emëruesi më pak i zakonshëm për ekuacionin tuaj.
- Ndonjëherë emëruesi më i vogël i përbashkët - domethënë numri më i vogël që ka të gjithë faktorët në emërues - është qartë i dukshëm. Për shembull, nëse ekuacioni juaj është x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, nuk është e vështirë të shihni numrin më të vogël që ka një faktor 3, 2 dhe 6, që është numri 6.
- Sidoqoftë, shpesh, emëruesi më pak i zakonshëm i një ekuacioni racional nuk është qartë i dukshëm. Në një rast si ky, provoni të kontrolloni shumëfishat e emëruesit më të madh derisa të gjeni një numër që ka një faktor të të gjithë emëruesve të tjerë më të vegjël. Shpesh, emëruesi më pak i përbashkët është produkti i dy emëruesve. Për shembull, në ekuacionin x/8 + 2/6 = (x-3)/9, emëruesi më pak i zakonshëm është 8*9 = 72.
- Nëse një ose më shumë nga emëruesit e fraksionit tuaj kanë ndryshore, ky proces është më i vështirë, por i mundshëm për tu bërë. Në një rast si ky, emëruesi më pak i përbashkët është një ekuacion (me një ndryshore) që ndahet me të gjithë emëruesit e tjerë. Për shembull në ekuacionin 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), emëruesi më pak i zakonshëm është 3x (x-1) sepse çdo emërues mund ta ndajë atë-pjesëtimi me (x-1) jep 3x, pjesëtimi me 3x jep (x-1), dhe pjesëtimi me x jep 3 (x-1).
Hapi 3. Shumëzoni çdo thyesë në ekuacionin racional me 1
Shumëzimi i secilës pjesë me 1 duket i padobishëm. Por këtu është truku. 1 mund të përkufizohet si çdo numër që është i njëjtë si në numërues ashtu edhe në emërues, të tilla si -2/2 dhe 3/3, që është mënyra e saktë për të shkruar 1. Kjo metodë përfiton nga përkufizimi alternativ. Shumëzoni çdo thyesë në ekuacionin tuaj racional me 1, duke shënuar numrin 1 i cili kur shumëzohet me emëruesin jep emëruesin më të vogël të përbashkët.
- Në shembullin tonë bazë, ne do të shumëzojmë x/3 me 2/2 për të marrë 2x/6 dhe shumëzojmë 1/2 me 3/3 për të marrë 3/6. 2x + 1/6 tashmë ka të njëjtin emërues më të vogël, që është 6, kështu që ne mund ta shumëzojmë me 1/1 ose ta lëmë të qetë.
- Në shembullin tonë me një ndryshore në emëruesin e thyesës, procesi është pak më i komplikuar. Meqenëse emëruesi ynë më i vogël është 3x (x-1), ne shumëzojmë çdo ekuacion racional me diçka që kthen 3x (x-1). Ne do të shumëzojmë 5/(x-1) me (3x)/(3x) që jep 5 (3x)/(3x) (x-1), shumëzojmë 1/x me 3 (x-1)/3 (x- 1) që jep 3 (x-1)/3x (x-1), dhe shumëzuar 2/(3x) me (x-1)/(x-1) jep 2 (x-1)/3x (x- 1)
Hapi 4. Thjeshtoni dhe gjeni vlerën e x
Tani, meqenëse çdo pjesë e ekuacionit tuaj racional ka të njëjtin emërues, ju mund të hiqni emëruesin nga ekuacioni juaj dhe të zgjidhni për numëruesin. Shumëzoni të dy anët e ekuacionit për të marrë vlerën e numëruesit. Pastaj, përdorni operacionet algjebrike për të gjetur vlerën e x (ose çfarëdo ndryshoreje që dëshironi të zgjidhni) në njërën anë të ekuacionit.
- Në shembullin tonë bazë, pasi të shumëzojmë të gjitha pjesët me formën alternative 1, marrim 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Dy thyesa mund të shtohen nëse kanë të njëjtin emërues, kështu që ne mund ta thjeshtojmë këtë ekuacion në (2x+3)/6 = (3x+1)/6 pa ndryshuar vlerën. Shumëzoni të dy anët me 6 për të hequr emëruesin, kështu që rezultati është 2x+3 = 3x+1. Zbrit 1 nga të dy anët për të marrë 2x+2 = 3x, dhe zbres 2x nga të dy anët për të marrë 2 = x, e cila mund të shkruhet si x = 2.
- Në shembullin tonë me një ndryshore në emërues, ekuacioni ynë pas shumëzimit me 1 bëhet 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Shumëzimi i të gjitha pjesëve me të njëjtin emërues më të vogël, duke na lejuar të anashkalojmë emëruesin, bëhet 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Kjo vlen edhe për 5x = 3x -3 + 2x -2, e cila thjeshtohet në 15x = x -5. Zbritja e x nga të dy anët jep 14x = -5, e cila, në fund, thjeshtohet në x = -5/14.
Këshilla
- Kur të keni zgjidhur ndryshoren, kontrolloni përgjigjen tuaj duke futur vlerën e ndryshores në ekuacionin origjinal. Nëse vlera juaj e ndryshueshme është e saktë, ju mund të thjeshtoni ekuacionin tuaj origjinal në një deklaratë të thjeshtë që gjithmonë është e barabartë me 1 = 1.
- Vini re se ju mund të shkruani çdo polinom si një ekuacion racional; vendoseni mbi emëruesin 1. Pra x+3 dhe (x+3)/1 kanë të njëjtën vlerë, por ekuacioni i dytë mund të klasifikohet si një ekuacion racional sepse është shkruar si një thyesë.
