Distanca, e dhënë shpesh me ndryshoren "s", është një matje e hapësirës që është një vijë e drejtë midis dy pikave. Distanca mund t'i referohet hapësirës midis dy pikave të palëvizshme (për shembull, lartësia e një personi është distanca nga fundi i këmbëve në majë të kokës) ose mund t'i referohet hapësirës midis pozicionit aktual të një objekti në lëvizje dhe vendndodhjen fillestare ku objekti filloi të lëvizë. Shumica e problemeve në distancë mund të zgjidhen me anë të ekuacionit s = v × t, ku s është distanca, v është shpejtësia mesatare, dhe t është koha, ose përdorimi s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), ku (x1, y1) dhe (x2, y2) janë koordinatat x dhe y të dy pikave.
Hapi
Metoda 1 nga 2: Llogaritja e distancës me shpejtësi dhe kohë mesatare
Hapi 1. Gjeni vlerat mesatare të shpejtësisë dhe kohës
Kur përpiqeni të llogaritni distancën që ka kaluar një objekt në lëvizje, ka dy pjesë të informacionit që janë të rëndësishme për këtë llogaritje: shpejtësia (ose shpejtësia) dhe koha se objekti lëvizës ka udhëtuar. Me këtë informacion, është e mundur të llogaritet distanca e përshkuar nga objekti duke përdorur formulën s = v × t.
Për të kuptuar më mirë procesin e përdorimit të formulës së distancës, le të zgjidhim një shembull problemi në këtë pjesë. Le të themi se po udhëtojmë në një rrugë me 120 milje në orë (rreth 193 km në orë) dhe duam të dimë se sa larg do të kemi përshkuar në gjysmë ore. Përdorni 120 milje në orë si vlerë e shpejtësisë mesatare dhe 0.5 orë si vlerë e kohës, ne do ta zgjidhim këtë problem në hapin tjetër.
Hapi 2. Shumëzoni shpejtësinë mesatare me kohën
Pas njohjes së shpejtësisë mesatare të një objekti në lëvizje dhe kohës që ai ka udhëtuar, llogaritja e distancës së përshkuar është relativisht e lehtë. Thjesht shumëzoni dy vlerat për të gjetur përgjigjen.
- Sidoqoftë, vini re se nëse njësia e kohës e përdorur në vlerën mesatare të shpejtësisë është e ndryshme nga ajo e përdorur në vlerën e kohës, do t'ju duhet të ndryshoni një që të përputhet. Për shembull, nëse do të kishim një vlerë mesatare të shpejtësisë të matur në km në orë dhe një vlerë kohore të matur në minuta, do t'ju duhet të ndani vlerën e kohës me 60 për ta kthyer atë në orë.
- Le të përfundojmë problemin tonë shembullor. 120 milje/orë × 0.5 orë = 60 miljeMe Vini re se njësitë në vlerën e kohës (orë) heqin emëruesin e shpejtësisë mesatare (orë) duke lënë vetëm njësitë e distancës (milje).
Hapi 3. Ndryshoni ekuacionin për të llogaritur një ndryshore tjetër
Thjeshtësia e ekuacionit bazë të distancës (s = v × t) e bën të lehtë përdorimin e ekuacionit për të gjetur vlerën e një ndryshoreje të ndryshme nga distanca. Thjesht izoloni ndryshoren që dëshironi të gjeni sipas rregullave themelore të algjebrës, pastaj futni vlerat e dy ndryshoreve të tjera për të gjetur vlerën e ndryshores së tretë. Me fjalë të tjera, për të llogaritur shpejtësinë mesatare të objektit, përdorni ekuacionin v = s/t dhe për të llogaritur kohën e kaluar nga objekti, përdorni ekuacionin t = s/v.
- Për shembull, le të themi se e dimë që një makinë ka përshkuar 60 milje në 50 minuta, por ne nuk kemi një vlerë për shpejtësinë mesatare ndërsa objekti po lëviz. Në këtë rast, ne mund të izolojmë ndryshoren v në ekuacionin e distancës bazë për të marrë v = d/t, pastaj thjesht ndajmë 60 milje/50 minuta për të marrë përgjigjen 1.2 milje/minutë.
- Vini re se në shembullin, përgjigja për shpejtësinë ka një njësi të pazakontë (milje/minutë). Për të marrë një përgjigje në milje/orë më të zakonshme, shumëzoni me 60 minuta/orë për të marrë rezultatin 72 milje/orë.
Hapi 4. Vini re se ndryshorja "v" në formulën e distancës i referohet shpejtësisë mesatare
Importantshtë e rëndësishme të kuptohet se formula bazë e distancës ofron një pamje të thjeshtuar të lëvizjes së një objekti. Formula e distancës supozon se një objekt në lëvizje ka një shpejtësi konstante - me fjalë të tjera, supozon se një objekt në lëvizje ka një shpejtësi të vetme, të pandryshueshme. Për problemet abstrakte të matematikës, të tilla si ato që mund të hasni në një mjedis akademik, ndonjëherë është ende e mundur të modeloni lëvizjen e një objekti duke përdorur këtë supozim. Sidoqoftë, në jetën reale, këta shembuj shpesh nuk pasqyrojnë me saktësi lëvizjen e objekteve në lëvizje, të cilat në fakt mund të përshpejtojnë, ngadalësojnë, ndalojnë dhe kthehen me kalimin e kohës.
- Për shembull, në shembullin e problemit të mësipërm, ne arritëm në përfundimin se për të përshkuar 60 milje në 50 minuta, do të na duhej të udhëtonim me 72 milje në orë. Sidoqoftë, kjo është e vërtetë vetëm nëse udhëtoni me një shpejtësi gjatë gjithë udhëtimit. Për shembull, duke udhëtuar me 80 milje/orë për gjysmën e udhëtimit dhe 64 milje/orë për gjysmën e mbetur, ne ende do të kalojmë 60 milje në 50 minuta - 72 milje/orë = 60 milje/50 minuta = ?????
- Zgjidhjet e bazuara në llogaritjen që përdorin derivatet janë shpesh një zgjedhje më e mirë sesa formula e distancës për të përcaktuar shpejtësinë e një objekti në situata reale, sepse ndryshimet në shpejtësinë janë të mundshme.
Metoda 2 nga 2: Llogaritja e distancës midis dy pikave
Hapi 1. Gjeni dy koordinatat hapësinore të dy pikave
Po sikur, në vend që të llogaritni distancën që ka kaluar një objekt në lëvizje, ju duhet të llogaritni distancën midis dy objekteve të paluajtshme? Në një rast të tillë, formula e distancës e bazuar në shpejtësinë e përshkruar më sipër nuk do të funksionojë. Për fat të mirë, formula të ndryshme të distancës mund të përdoren për të llogaritur me lehtësi distancën e vijës së drejtë midis dy pikave. Sidoqoftë, për të përdorur këtë formulë, do t'ju duhet të njihni koordinatat e dy pikave. Nëse trajtoni distanca një-dimensionale (si në një vijë numrash), koordinatat do të përbëhen nga dy numra, x1 dhe x2Me Nëse trajtoni distanca në dy dimensione, do t'ju duhen dy vlera (x, y), (x1, y1) dhe (x2, y2) Së fundi, për tre dimensione, do t'ju duhet vlera (x1, y1, z1) dhe (x2, y2, z2).
Hapi 2. Llogaritni distancën një-dimensionale duke zbritur vlerat e koordinatave të dy pikave
Llogaritja e distancës një-dimensionale midis dy pikave kur tashmë e dini vlerën e secilës pikë është e lehtë. Thjesht përdorni formulën s = | x2 - x1|Me Në këtë formulë, ju zbritni x1 nga x2, atëherë merrni vlerën absolute të përgjigjes suaj për të gjetur distancën midis x1 dhe x2Me Zakonisht, do të dëshironi të përdorni formulën e distancës një-dimensionale kur të dy pikat janë në një bosht të vijës ose numrit.
- Vini re se kjo formulë përdor vlera absolute (simboli " | |"). Vlera absolute do të thotë vetëm se vlera brenda simbolit bëhet pozitive nëse është negative.
-
Për shembull, le të themi se ndalemi në anë të rrugës në një autostradë krejtësisht të drejtë. Nëse ka një qytet 5 milje para nesh dhe një qytet tjetër 1 milje pas nesh, sa larg janë dy qytetet? Nëse e vendosim qytetin 1 si x1 = 5 dhe qyteti 2 si x1 = -1, ne mund të llogarisim s, distancën midis dy qyteteve, në mënyrën e mëposhtme:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 milje.
Hapi 3. Llogaritni distancën dy-dimensionale duke përdorur teoremën e Pitagorës
Llogaritja e distancës midis dy pikave në hapësirën dy-dimensionale është më e komplikuar sesa në një-dimensionale, por jo e vështirë. Thjesht përdorni formulën s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)Me Në këtë formulë, zbritni dy koordinatat x, llogaritni rrënjën katrore, zbritni dy koordinatat y, llogaritni rrënjën katrore, pastaj shtoni të dy rezultatet së bashku dhe llogaritni rrënjën katrore për të gjetur distancën midis dy pikave. Kjo formulë zbatohet për një plan dy -dimensional - për shembull, në një grafik të rregullt x/y.
- Formula e distancës dy-dimensionale përdor teoremën e Pitagorës, e cila thotë se gjatësia e hipotenuzës së trekëndëshit në të djathtë është e barabartë me rrënjën katrore të katrorit në dy anët e tjera.
- Për shembull, le të themi që kemi dy pika në rrafshin x -y: (3, -10) dhe (11, 7), të cilat përfaqësojnë përkatësisht qendrën e një rrethi dhe një pikë në rreth. Për të gjetur distancën e drejtë midis dy pikave, ne mund ta llogarisim atë në mënyrën e mëposhtme:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Hapi 4. Llogaritni distancën tre-dimensionale duke ndryshuar formulën e distancës dy-dimensionale
Në tre dimensione, pikat kanë koordinata z përveç koordinatave x dhe y. Për të llogaritur distancën midis dy pikave në hapësirën tre-dimensionale, përdorni s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)Me Kjo është një formë e modifikuar e formulës së distancës dy-dimensionale të përshkruar më sipër që përfshin koordinatën z. Zbritja e dy koordinatave z, llogaritja e rrënjës katrore dhe vazhdimi me pjesën tjetër të formulës siguron që përgjigjja juaj përfundimtare do të përfaqësojë distancën tre-dimensionale midis dy pikave.
- Për shembull, le të themi se ne jemi astronautë që lundrojnë në hapësirë midis dy asteroideve. Një asteroid është rreth 8 km përpara, 2 km në të djathtë dhe 5 km poshtë nesh, ndërsa tjetri është rreth 3 km prapa, 3 km në të majtë dhe 4 km mbi ne. Nëse përfaqësojmë pozicionet e dy asteroideve me koordinatat (8, 2, -5) dhe (-3, -3, 4), mund të llogarisim distancën midis tyre në mënyrën e mëposhtme:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
