Si të nxjerrim funksione të nënkuptuara: 7 hapa (me fotografi)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-19 22:14

Në llogaritjen, kur keni një ekuacion për y të shkruar në formën x (p.sh. y = x² -3x), është e lehtë të përdorësh teknikat bazë të derivimit (të referuara nga matematikanët si teknika të nënkuptuara të derivateve të funksionit) për të gjetur derivatin. Sidoqoftë, për ekuacionet që është e vështirë të ndërtohen vetëm me termin y në njërën anë të shenjës së barazimit (p.sh. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), nevojitet një qasje e ndryshme. Me një teknikë të quajtur derivate të funksionit të nënkuptuar, është e lehtë të gjesh derivate të ekuacioneve me shumë ndryshore për aq kohë sa i njeh bazat e derivateve të funksionit eksplicit!

Hapi

Metoda 1 nga 2: Marrja e shpejtë e ekuacioneve të thjeshta

Hapi 1. Nxirrni termat x si zakonisht

Kur përpiqeni të nxirrni një ekuacion me shumë ndryshore si x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, mund të jetë e vështirë të dini se ku të filloni. Për fat të mirë, hapi i parë i derivatit të një funksioni të nënkuptuar është më i lehtë. Thjesht nxirrni termat x dhe konstantet në të dy anët e ekuacionit sipas rregullave të derivateve të zakonshëm (eksplicit) për të filluar. Injoroni termat y për momentin.

• Le të përpiqemi të nxjerrim një shembull të ekuacionit të thjeshtë më sipër. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 ka dy terma x: x² dhe -5x Nëse duam të nxjerrim një ekuacion, duhet ta bëjmë këtë së pari, si kjo:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Sillni fuqinë 2 në x² si koeficient, hiqni x në -5x dhe ndryshoni 19 në 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Hapi 2. Nxirrni termat y dhe shtoni (dy/dx) pranë secilit term

Për hapin tuaj të ardhshëm, thjesht nxirrni termat y në të njëjtën mënyrë si keni nxjerrë termat x. Këtë herë, megjithatë, shtoni (dy/dx) pranë secilit term siç do të shtonit koeficientët. Për shembull, nëse ulni y², atëherë derivati bëhet 2y (dy/dx). Injoroni termat që kanë x dhe y për momentin.

• Në shembullin tonë, ekuacioni ynë tani duket kështu: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Ne do të kryejmë hapin tjetër të nxjerrjes së y si më poshtë:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Sillni në fuqinë 2 në y² si koeficientë, hiqni y në 8y dhe vendosni dy/dx pranë secilit term).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Hapi 3. Përdorni rregullin e produktit ose rregullin e herësit për termat që kanë x dhe y

Puna me termat që kanë x dhe y është pak e ndërlikuar, por nëse i dini rregullat për produktin dhe herësin për derivatet, do ta keni të lehtë. Nëse termat x dhe y shumëzohen, përdorni rregullin e produktit ((f × g) '= f' × g + g × f '), duke zëvendësuar termin x me f dhe termin y me g. Nga ana tjetër, nëse termat x dhe y janë reciprokisht përjashtues, përdorni rregullin e herësit ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), duke zëvendësuar numëruesin me f dhe emëruesin me g.

• Në shembullin tonë, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, ne kemi vetëm një term i cili ka x dhe y - 2xy²Me Meqenëse x dhe y shumëzohen me njëri -tjetrin, ne do të përdorim rregullin e produktit për të nxjerrë si më poshtë:

  2xy² = (2x) (y²)- vendos 2x = f dhe y² = g në (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2v² + 4xy (dy/dx)

• Duke e shtuar këtë në ekuacionin tonë kryesor, marrim 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Hapi 4. Vetëm (dy/dx)

Pothuajse keni mbaruar! Tani, gjithçka që duhet të bëni është të zgjidhni ekuacionin (dy/dx). Kjo duket e vështirë, por zakonisht nuk është - mbani mend se çdo dy terma a dhe b shumëzohen me (dy/dx) mund të shkruhen si (a + b) (dy/dx) për shkak të vetisë shpërndarëse të shumëzimit. Kjo taktikë mund ta bëjë më të lehtë izolimin (dy/dx) - thjesht zhvendosni të gjithë termat e tjerë në anën tjetër të kllapave, pastaj ndani me termat në kllapa pranë (dy/dx).

• Në shembullin tonë, ne thjeshtojmë 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 si më poshtë:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 nga 2: Përdorimi i Teknikave të Avancuara

Hapi 1. Shkruani vlerën (x, y) për të gjetur (dy/dx) për çdo pikë

E sigurt! Ju tashmë e keni nxjerrë ekuacionin tuaj në mënyrë të nënkuptuar - jo një punë e lehtë në përpjekjen e parë! Përdorimi i këtij ekuacioni për të gjetur gradientin (dy/dx) për çdo pikë (x, y) është po aq e lehtë sa lidhja e vlerave x dhe y për pikën tuaj në anën e djathtë të ekuacionit, pastaj gjetja (dy/dx) Me

• Për shembull, supozoni se duam të gjejmë gradientin në pikën (3, -4) për shembullin tonë të ekuacionit më sipër. Për ta bërë këtë, ne do të zëvendësojmë 3 me x dhe -4 me y, duke zgjidhur si më poshtë:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48, ose 0, 6875.

Hapi 2. Përdorni rregullin e zinxhirit për funksionet brenda funksioneve

Rregulli zinxhir është një pjesë e rëndësishme e njohurive që duhet të keni kur punoni në problemet e llogaritjes (përfshirë problemet e nënkuptuara të derivateve të funksionit). Rregulli i zinxhirit thotë se për një funksion F (x) i cili mund të shkruhet si (f o g) (x), derivati i F (x) është i barabartë me f '(g (x)) g' (x)Me Për problemet e vështira të derivative të funksionit të nënkuptuar, kjo do të thotë se është e mundur të nxirren pjesë të ndryshme individuale të ekuacionit, dhe pastaj të kombinohen rezultatet.

• Si një shembull i thjeshtë, supozoni se duhet të gjejmë derivatin e mëkatit (3x² + x) si pjesë e problemit më të madh të nënkuptuar të derivatit të funksionit për ekuacionin sin (3x² + x) + y³ = 0. Nëse imagjinojmë mëkatin (3x² + x) si f (x) dhe 3x² + x si g (x), mund ta gjejmë derivatin si më poshtë:

  f '(g (x)) g' (x)

  (mëkati (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Hapi 3. Për ekuacionet me ndryshoret x, y dhe z, gjeni (dz/dx) dhe (dz/dy)

Edhe pse e pazakontë në llogaritjen bazë, disa aplikacione të përparuara mund të kërkojnë nxjerrjen e funksioneve të nënkuptuara të më shumë se dy variablave. Për çdo ndryshore shtesë, duhet të gjeni derivatin e tij shtesë në lidhje me x. Për shembull, nëse keni x, y dhe z, duhet të kërkoni të dyja (dz/dy) dhe (dz/dx). Ne mund ta bëjmë këtë duke nxjerrë ekuacionin në lidhje me x dy herë - së pari, do të futim (dz/dx) çdo herë që nxjerrim një term që përmban z, dhe së dyti, do të fusim (dz/dy) çdo herë që nxjerrim z Pas kësaj, është vetëm çështje zgjidhjeje (dz/dx) dhe (dz/dy).

• Për shembull, le të themi se po përpiqemi të nxjerrim x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Së pari, le të nxjerrim kundër x dhe të hyjmë (dz/dx). Mos harroni të zbatoni rregullin e produktit nëse është e nevojshme!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5v⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5v⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Tani, bëni të njëjtën gjë për (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3v² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)