Derivatet mund të përdoren për të nxjerrë karakteristika të dobishme nga një grafik, të tilla si vlerat maksimale, minimale, kulmin, luginën dhe pjerrësinë. Ju madje mund ta përdorni atë për të grafikuar ekuacionet komplekse pa një llogaritës grafik! Fatkeqësisht, të punosh në derivate është shpesh e lodhshme, por ky artikull do të të ndihmojë me disa këshilla dhe truqe.
Hapi
Hapi 1. Kuptoni shënimin e prejardhur
Dy shënimet e mëposhtme janë më të zakonshmet, megjithëse shumë të tjerë mund të gjenden këtu në Wikipedia.
- Shënimi Leibniz Ky shënim është shënimi më i përdorur kur ekuacioni përfshin y dhe x. dy/dx fjalë për fjalë do të thotë derivat i y në lidhje me x. Mund të jetë e dobishme të mendohet si y/Δx për vlera shumë të ndryshme të x dhe y. Ky shpjegim çon në përcaktimin e kufirit derivativ: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h Kur përdorni këtë shënim për derivatin e dytë, duhet të shkruani: d2y/dx2.
- Shënimi Lagranzh Derivati i funksionit f shkruhet edhe si f '(x). Ky shënim lexon f të theksuar x. Ky shënim është më i shkurtër se shënimi i Leibniz, dhe është i dobishëm kur shikoni derivatet si funksione. Për të formuar një shkallë më të madhe të derivatit, thjesht shtoni 'në f, kështu që derivati i dytë do të jetë f' '(x).
Hapi 2. Kuptoni kuptimin e derivatit dhe arsyet e prejardhjes
Së pari, për të gjetur pjerrësinë e një grafi linear, merren dy pika në vijë dhe koordinatat e tyre futen në ekuacion (y2 - y1)/(x2 - x1) Sidoqoftë, mund të përdoret vetëm për grafikët linearë. Për ekuacionet kuadratike dhe më të larta, vija do të jetë një kurbë, kështu që gjetja e ndryshimit midis dy pikave nuk është shumë e saktë. Për të gjetur pjerrësinë e tangjentes në një grafik kurbë, merren dy pika dhe futen në ekuacionin e përgjithshëm për të gjetur pjerrësinë e grafikut të kurbës: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx tregon delta x, e cila është ndryshimi midis dy koordinatave x në dy pika të grafikut. Vini re se ky ekuacion është i njëjtë me (y2 - y1)/(x2 - x1), vetëm në një formë tjetër. Meqenëse dihej që rezultatet do të ishin të pasakta, u zbatua një qasje indirekte. Për të gjetur pjerrësinë e tangjentes në (x, f (x)), dx duhet të jetë afër 0, në mënyrë që dy pikat e vizatuara të bashkohen në një pikë. Sidoqoftë, ju nuk mund të ndani 0, kështu që pasi të keni futur vlerat me dy pika, do të duhet të përdorni faktorizimin dhe metoda të tjera për të hequr dx nga fundi i ekuacionit. Pasi ta keni bërë këtë, bëni dx 0 dhe mbaroni. Kjo është pjerrësia e tangjentes në (x, f (x)). Derivati i një ekuacioni është ekuacioni i përgjithshëm për gjetjen e pjerrësisë së çdo tangente në një grafik. Kjo mund të duket shumë e ndërlikuar, por ka disa shembuj më poshtë, të cilët do të ndihmojnë në shpjegimin se si të merrni derivatin.
Metoda 1 nga 4: Derivatet eksplicite
Hapi 1. Përdorni një derivat eksplicit nëse ekuacioni juaj tashmë ka y në njërën anë
Hapi 2. Lidheni ekuacionin në ekuacionin [f (x + dx) - f (x)]/dx
Për shembull, nëse ekuacioni është y = x2, derivati do të jetë [(x + dx)2 - x2]/dx.
Hapi 3. Zgjero dhe hiq dx për të formuar ekuacionin [dx (2x + dx)]/dx
Tani, mund të hidhni dy dx në krye dhe në fund. Rezultati është 2x + dx, dhe ndërsa dx i afrohet zeros, derivati është 2x. Kjo do të thotë se pjerrësia e çdo tangjente të grafit y = x2 eshte 2x. Thjesht futni vlerën x për pikën për të cilën dëshironi të gjeni pjerrësinë.
Hapi 4. Mësoni modelet për nxjerrjen e ekuacioneve të ngjashme
Ketu jane disa shembuj.
- Çdo eksponent është fuqia herë vlera, e ngritur në fuqi më pak se 1. Për shembull, derivati i x5 eshte 5x4, dhe derivatin e x3, 5 iis3, 5x2, 5Me Nëse tashmë ekziston një numër para x, shumëzojeni atë me fuqinë. Për shembull, derivati i 3x4 eshte 12x3.
- Derivati i çdo konstante është zero. Pra, derivati i 8 është 0.
- Derivati i shumës është shuma e derivateve përkatëse. Për shembull, derivati i x3 + 3x2 eshte 3x2 + 6x
- Derivati i produktit është faktori i parë herë derivati i faktorit të dytë plus faktori i dytë herë derivati i faktorit të parë. Për shembull, derivati i x3(2x + 1) është x3(2) + (2x + 1) 3x2, e cila është e barabartë me 8x3 + 3x2.
- Derivati i herësit (të themi, f/g) është [g (derivati i f) - f (derivati i g)]/g2Me Për shembull, derivati i (x2 + 2x - 21)/(x - 3) është (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metoda 2 nga 4: Derivatet e nënkuptuara
Hapi 1. Përdorni derivate të nënkuptuar nëse ekuacioni juaj nuk mund të shkruhet tashmë me y në njërën anë
Në fakt, nëse shkruani y në njërën anë, llogaritja e dy/dx do të ishte e lodhshme. Këtu keni një shembull se si mund ta zgjidhni këtë lloj ekuacioni.
Hapi 2. Në këtë shembull, x2y + 2v3 = 3x + 2y, zëvendësoni y me f (x), kështu që do të mbani mend se y është në të vërtetë një funksion.
Ekuacioni pastaj bëhet x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Hapi 3. Për të gjetur derivatin e këtij ekuacioni, nxirrni të dy anët e ekuacionit në lidhje me x
Ekuacioni pastaj bëhet x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Hapi 4. Zëvendësoni përsëri f (x) me y
Kini kujdes të mos zëvendësoni f '(x), i cili është i ndryshëm nga f (x).
Hapi 5. Gjeni f '(x)
Përgjigja për këtë shembull bëhet (3 - 2xy)/(x2 + 6v2 - 2).
Metoda 3 nga 4: Derivatet e Rendit të Lartë
Hapi 1. Të nxjerrësh një funksion të rendit më të lartë do të thotë që po nxjerr derivatin (sipas rendit 2)
Për shembull, nëse problemi ju kërkon të nxirrni rendin e tretë, atëherë thjesht merrni derivatin e derivatit të derivatit. Për disa ekuacione, derivati i rendit më të lartë do të jetë 0.
Metoda 4 nga 4: Rregulli i Zinxhirit
Hapi 1. Nëse y është një funksion diferencial i z, dhe z është një funksion diferencial i x, y është një funksion i përbërë i x, dhe derivati i y në lidhje me x (dy/dx) është (dy/du)* (du/dx)
Rregulli i zinxhirit mund të jetë gjithashtu një kombinim i ekuacioneve të fuqisë, si ky: (2x4 - x)3Me Për të gjetur derivatin, thjesht mendojeni si rregulli i shumëzimit. Shumëzoni ekuacionin me fuqinë dhe zvogëloni me 1 në fuqi. Pastaj, shumëzoni ekuacionin me derivatin e ekuacionit në kllapa që ngre fuqinë (në këtë rast, 2x^4 - x). Përgjigja për këtë pyetje është 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Këshilla
- Sa herë që shihni një problem të vështirë për t’u zgjidhur, mos u shqetësoni. Thjesht përpiquni ta ndani atë në sa më shumë pjesë të vogla të jetë e mundur duke zbatuar rregullat e shumëzimit, herësit, etj. Pastaj, ulni secilën pjesë.
- Praktikoni me rregullin e shumëzimit, rregullin e herësit, rregullin e zinxhirit, dhe veçanërisht, derivatet e nënkuptuar, sepse këto rregulla janë shumë më të vështira në llogaritjen.
- Kuptoni mirë kalkulatorin tuaj; provoni funksionet e ndryshme në kalkulatorin tuaj për të mësuar se si t'i përdorni ato. Veryshtë shumë e dobishme të dini se si të përdorni tangentet dhe funksionet derivative në kalkulatorin tuaj nëse ato janë të disponueshme.
- Mos harroni derivatet kryesore trigonometrike dhe mënyrën e përdorimit të tyre.
