Në ditët para se të shpikeshin kalkulatorët, studentët dhe profesorët duhej të llogaritnin rrënjët katrore me dorë. Disa mënyra të ndryshme janë zhvilluar për të kapërcyer këtë proces të vështirë. Disa mënyra japin një vlerësim të përafërt dhe të tjerët japin një vlerë të saktë. Për të mësuar se si të gjeni rrënjën katrore të një numri duke përdorur operacione të thjeshta, shihni Hapi 1 më poshtë për të filluar.
Hapi
Metoda 1 nga 2: Përdorimi i Faktorizimit Kryesor
Hapi 1. Ndani numrin tuaj në faktorë katrorë të përsosur
Kjo metodë përdor faktorët e një numri për të gjetur rrënjën katrore të numrit (në varësi të numrit, përgjigjja mund të jetë një numër i saktë ose një përafrim i afërt). Faktorët e një numri janë një grup numrash të tjerë të cilët, kur shumëzohen, prodhojnë atë numër. Për shembull, ju mund të thoni që faktorët e 8 janë 2 dhe 4 sepse 2 × 4 = 8. Ndërkohë, katrorët e përsosur janë numra të plotë që janë produkt i numrave të tjerë të plotë. Për shembull, 25, 36 dhe 49 janë katrorë të përsosur sepse janë përkatësisht 52, 62, dhe 72Me Siç mund ta keni menduar, faktorët katrorë të përsosur janë faktorë që janë gjithashtu katrorë të përsosur. Për të filluar gjetjen e rrënjës katrore përmes faktorizimit kryesor, së pari përpiquni të thjeshtoni numrin tuaj në faktorët e tij të përsosur katrorë.
- Le të përdorim një shembull. Ne duam të gjejmë rrënjën katrore të 400 me dorë. Për të filluar, ne do ta ndajmë numrin në faktorët e tij katrorë të përsosur. Meqenëse 400 është një shumëfish i 100, ne e dimë se 400 ndahet me 25 - një katror i përsosur. Me një ndarje të shpejtë të hijeve, ne gjejmë se 400 të ndarë me 25 është e barabartë me 16. Rastësisht, 16 është gjithashtu një katror i përsosur. Kështu, faktorët katrorë të përsosur prej 400 janë 25 dhe 16 sepse 25 × 16 = 400.
- Mund ta shkruajmë si: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Hapi 2. Gjeni rrënjën katrore të faktorëve tuaj të përsosur katrorë
Vetia e shumëzimit të rrënjës katrore thotë se për çdo numër a dhe b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Për shkak të kësaj vetie, tani, tani mund të gjejmë rrënjën katrore të faktorëve tanë katrorë të përsosur dhe t'i shumëzojmë ato për të marrë përgjigjen tonë.
-
Në shembullin tonë, do të gjejmë rrënjët katrore të 25 dhe 16. Shih më poshtë:
- Rrënjë (25 × 16)
- Rrënjë (25) × Rrënjë (16)
-
5 × 4 =
Hapi 20.
Hapi 3. Nëse numri juaj nuk mund të faktorizohet në mënyrë perfekte, thjeshtoni përgjigjen tuaj në formën e tij më të thjeshtë
Në jetën reale, shpesh numrat që ju nevojiten për të gjetur rrënjën katrore nuk janë numra të plotë të këndshëm me faktorë katrorë të qartë të përsosur si 400. Në këto raste, është e mundur që ne të mos gjejmë përgjigjen e duhur. Si një numër i plotë. Sidoqoftë, duke gjetur sa më shumë faktorë katrorë të përsosur që mund të gjeni, mund ta gjeni përgjigjen në formën e një rrënje katrore që është më e vogël, më e thjeshtë dhe më e lehtë për t’u llogaritur. Për ta bërë këtë, zvogëloni numrin tuaj në një kombinim të faktorëve katrorë të përsosur dhe faktorëve katrorë të papërsosur, pastaj thjeshtoni.
-
Le të përdorim rrënjën katrore të 147 si shembull. 147 nuk është produkt i dy shesheve të përsosur, kështu që ne nuk mund të marrim vlerën e plotë të saktë si më sipër. Sidoqoftë, 147 është produkt i një katrori të përsosur dhe një numri tjetër - 49 dhe 3. Ne mund ta përdorim këtë informacion për të shkruar përgjigjen tonë në formën e tij më të thjeshtë si më poshtë:
- Rrënjë (147)
- = Rrënjë (49 3)
- = Sqrt (49) Sqrt (3)
- = 7 × Rrënjë (3)
Hapi 4. Nëse është e nevojshme, vlerësoni
Me rrënjën tuaj katrore në formën e saj më të thjeshtë, zakonisht është mjaft e lehtë të merrni një vlerësim të përafërt të përgjigjes së numrit duke supozuar vlerën e rrënjës katrore të mbetur dhe duke e shumëzuar atë. Një mënyrë për të drejtuar supozimin tuaj është të kërkoni sheshe të përsosura që janë më të mëdha se dhe më pak se numri në rrënjën tuaj katrore. Ju do të vini re se vlera dhjetore e numrit në rrënjën tuaj katrore është midis dy numrave, kështu që ju mund të merrni me mend vlerën midis dy numrave.
-
Le t’i kthehemi shembullit tonë. sepse 22 = 4 dhe 12 = 1, ne e dimë se Rrënja (3) është midis 1 dhe 2 - ndoshta më afër 2 se 1. Ne vlerësojmë 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9Me Nëse e kontrollojmë përgjigjen tonë në kalkulator, mund të shohim se përgjigjja jonë është mjaft afër përgjigjes reale që është 12, 13.
Kjo vlen edhe për numrat më të mëdhenj. Për shembull, Rrënja (35) mund të përafrohet midis 5 dhe 6 (ndoshta më afër 6). 52 = 25 dhe 62 = 36. 35 është midis 25 dhe 36, kështu që rrënja katrore duhet të jetë midis 5 dhe 6. Meqenëse 35 është vetëm një më pak se 36, mund të themi me besim se rrënja katrore është pak më pak se 6. Kontrolli me një kalkulator do të na jep përgjigjen është rreth 5, 92 - ne kemi të drejtë.
Hapi 5. Përndryshe, zvogëloni numrin tuaj në faktorët e tij më pak të zakonshëm si hapi juaj i parë
Gjetja e faktorëve të katrorëve të përsosur nuk është e nevojshme nëse lehtë mund të përcaktoni faktorët kryesorë të një numri (faktorë që janë gjithashtu numra të thjeshtë). Shkruani numrin tuaj në lidhje me faktorët e tij më pak të zakonshëm. Pastaj, gjeni çiftet e numrave kryesorë që përputhen me faktorët tuaj. Kur gjeni dy faktorë kryesorë që janë të njëjtë, hiqni këta dy numra nga rrënja katrore dhe vendosni një nga këta numra jashtë rrënjës katrore.
-
Për shembull, gjeni rrënjën katrore të 45 duke përdorur këtë metodë. Ne e dimë se 45 × 5 dhe e dimë se nën 9 = 3 × 3. Kështu, ne mund të shkruajmë rrënjën tonë katrore në terma të faktorëve si ky: Sqrt (3 × 3 × 5). Thjesht hiqni të dyja 3 dhe vendosni një 3 jashtë rrënjës katrore për të thjeshtuar rrënjën tuaj katrore në formën e saj më të thjeshtë: (3) Rrënja (5).
Nga këtu, do të jetë e lehtë të vlerësohet.
-
Si një shembull i fundit i problemit, le të përpiqemi të gjejmë rrënjën katrore të 88:
- Rrënjë (88)
- = Rrënjë (2 × 44)
- = Rrënjë (2 × 4 × 11)
- = Rrënjë (2 × 2 × 2 × 11). Ne kemi rreth 2 në rrënjën tonë katrore. Meqenëse 2 është një numër i thjeshtë, ne mund të heqim një palë 2 dhe ta vendosim njërën prej tyre jashtë rrënjës katrore.
-
= Rrënja jonë katrore në formën e saj më të thjeshtë është (2) Sqrt (2 × 11) ose (2) Rrënja (2) Rrënja (11).
Nga këtu, ne mund të vlerësojmë Sqrt (2) dhe Sqrt (11) dhe të gjejmë përgjigjen e përafërt ashtu siç duam.
Metoda 2 nga 2: Gjetja e rrënjës katrore me dorë
Duke përdorur algoritmin e ndarjes së gjatë
Hapi 1. Ndani shifrat e numrit tuaj në çifte
Kjo metodë përdor një proces të ngjashëm me ndarjen e gjatë për të gjetur shifrën e saktë të rrënjës katrore për shifër. Ndërsa nuk është e detyrueshme, mund ta keni më të lehtë ta kryeni këtë proces nëse organizoni vizualisht vendin tuaj të punës dhe numrat tuaj në pjesë të lehta për t’u punuar. Së pari, vizatoni një vijë vertikale që ndan zonën tuaj të punës në dy seksione, pastaj vizatoni një vijë më të shkurtër horizontale pranë pjesës së sipërme të djathtë për të ndarë pjesën e djathtë në një seksion më të vogël sipërm dhe një pjesën më të madhe fundore. Tjetra, ndani shifrat tuaja në çifte, duke filluar në pikën dhjetore. Për shembull, duke ndjekur këtë rregull, 79,520,789,182, 47897 bëhet "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Shkruani numrin tuaj në të majtë lart.
Për shembull, le të përpiqemi të llogarisim rrënjën katrore të 780, 14. Vizatoni dy rreshta për të ndarë vendin tuaj të punës si më sipër dhe shkruani "7 80. 14" në pjesën e sipërme të majtë. Nuk ka rëndësi nëse numri më i majtë është një numër i vetëm, dhe jo një çift numrash. Ju do të shkruani përgjigjen tuaj (rrënja katrore 780, 14) në të djathtën e sipërme
Hapi 2. Gjeni numrin e plotë më të madh vlera katrore e të cilit është më e vogël ose e barabartë me numrin (ose palën e numrave) në skajin e majtë
Filloni në anën e majtë të numrit tuaj, si çifte numrash ashtu edhe numra të vetëm. Gjeni katrorin më të madh të përsosur që është më i vogël ose i barabartë me këtë numër, pastaj gjeni rrënjën katrore të këtij katrori të përsosur. Ky numër është n. Shkruani n në të djathtën e sipërme dhe shkruani katrorin e n në kuadrantin e poshtëm të djathtë.
Në shembullin tonë, e majta është numri 7. Sepse ne e dimë se 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, mund të themi se n = 2 sepse 2 është numër i plotë më i madh vlera katrore e të cilit është më e vogël ose e barabartë me 7. Shkruani 2 në kuadrantin e sipërm të djathtë. Kjo është shifra e parë e përgjigjes sonë. Shkruani 4 (vlera katrore e 2) në kuadrantin e poshtëm të djathtë. Ky numër është i rëndësishëm për hapin tjetër.
Hapi 3. Zbritni numrin që sapo keni llogaritur nga çifti më i majtë
Ashtu si me ndarjen e gjatë, hapi tjetër është zbritja e vlerës së katrorit që sapo gjetëm nga pjesa që sapo analizuam. Shkruani këtë numër nën pjesën e parë dhe zbriteni atë, duke shkruar përgjigjen tuaj nën të.
-
Në shembullin tonë, ne do të shkruajmë 4 nën 7, pastaj do ta zbresim atë. Kjo zbritje jep një përgjigje
Hapi 3..
Hapi 4. Hidhni palën tjetër
Lëvizni poshtë pjesën tjetër të numrit për të cilin po kërkoni rrënjën katrore, pranë vlerës së zbritjes që sapo keni gjetur. Tjetra, shumëzoni numrin në kuadrantin e sipërm të djathtë me dy dhe shkruani përgjigjen në kuadrantin e poshtëm të djathtë. Pranë numrit që sapo keni shkruar, lini një hapësirë për problemin e shumëzimit që do të bëni në hapin tjetër duke shkruar '"_ × _ ="'.
Në shembullin tonë, çifti tjetër i numrave tanë është "80". Shkruani "80" pranë 3 në kuadrantin e majtë. Tjetra, shumëzoni numrin në pjesën e sipërme të djathtë me dy. Ky numër është 2, pra 2 × 2 = 4. Shkruani "'4"' në kuadrantin e poshtëm të djathtë, e ndjekur nga _×_=.
Hapi 5. Plotësoni vendet bosh në kuadratin e djathtë
Ju duhet të plotësoni të gjitha boshllëqet që sapo keni shkruar në kuadrantin e duhur me të njëjtin numër të plotë. Ky numër i plotë duhet të jetë numri i plotë më i madh që e bën produktin në kuadrantin e djathtë më të vogël ose të barabartë me numrin aktualisht në të majtë.
Në shembullin tonë, ne mbushim boshllëqet me 8, duke rezultuar në 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Kjo vlerë është më e madhe se 384. Kështu, 8 është shumë i madh, por 7 mund të funksionojnë. Shkruani 7 në vendet bosh dhe zgjidhni: 4 (7) × 7 = 329. 7 është një numër i saktë sepse 329 është më pak se 380. Shkruani 7 në kuadrantin e sipërm të djathtë. Kjo është shifra e dytë në rrënjën katrore të 780, 14
Hapi 6. Zbritni numrin që sapo keni llogaritur nga numri tani në të majtë
Vazhdoni me zinxhirin e zbritjes duke përdorur metodën e ndarjes së gjatë. Merrni produktin e problemit në kuadratin e djathtë dhe zbriteni atë nga numri që është tani në të majtë, ndërsa shkruani përgjigjet tuaja më poshtë.
Në shembullin tonë, ne do të zbresim 329 nga 380, i cili jep rezultatin 51.
Hapi 7. Përsëriteni hapin 4
Nxirrni pjesën tjetër të numrit për të cilin po kërkoni rrënjën katrore. Kur të arrini pikën dhjetore në numrin tuaj, shkruani pikën dhjetore në përgjigjen tuaj në kuadrantin e sipërm të djathtë. Pastaj, shumëzoni numrin në pjesën e sipërme të djathtë me 2 dhe shkruani atë pranë problemit të zbrazët të shumëzimit ("_ × _") si më sipër.
Në shembullin tonë, meqenëse tani po merremi me pikën dhjetore në 780, 14, shkruani pikën dhjetore pas përgjigjes sonë aktuale në të djathtën e sipërme. Tjetra, uleni palën tjetër (14) në kuadrantin e majtë. Dy herë numri në pjesën e sipërme të djathtë (27) është 54, kështu që shkruani "54 _ × _ =" në kuadrantin e poshtëm të djathtë
Hapi 8. Përsëritni hapat 5 dhe 6
Gjeni shifrën më të madhe për të plotësuar boshllëqet në të djathtë, e cila jep një përgjigje më të vogël ose të barabartë me numrin aktualisht në të majtë. Pastaj, zgjidh problemin.
Në shembullin tonë, 549 × 9 = 4941, që është më i vogël ose i barabartë me numrin në të majtë (5114). 549 × 10 = 5490 është shumë e madhe, kështu që 9 është përgjigjja juaj. Shkruani 9 si shifrën tjetër në kuadrantin e sipërm të djathtë dhe zbritni produktin nga numri në të majtë: 5114 minus 4941 është e barabartë me 173
Hapi 9. Për të vazhduar numërimin e shifrave, ulni palën zero në të majtë dhe përsëritni hapat 4, 5 dhe 6
Për saktësi më të madhe, vazhdoni këtë proces për të gjetur qindra, mijëra dhe më shumë vende në përgjigjen tuaj. Vazhdoni të përdorni këtë cikël derisa të gjeni vendin dhjetor që dëshironi.
Kuptimi i Procesit
Hapi 1. Imagjinoni numrin që keni llogaritur rrënjën katrore si zona S e një katrori
Meqenëse sipërfaqja e një katrori është P2 ku P është gjatësia e njërës prej anëve, atëherë duke u përpjekur të gjeni rrënjën katrore të numrit tuaj, në të vërtetë po përpiqeni të llogaritni gjatësinë P të asaj ane të sheshit.
Hapi 2. Përcaktoni ndryshoret e shkronjave për secilën shifër të përgjigjes suaj
Vendosni ndryshoren A si shifrën e parë të P (rrënja katrore që po përpiqemi të llogarisim). B do të jetë shifra e dytë, C shifra e tretë, e kështu me radhë.
Hapi 3. Përcaktoni ndryshoret e shkronjave për secilën pjesë të numrit tuaj fillestar
Vendosni ndryshoren Sa për palën e parë të shifrave në S (vlera juaj fillestare), Sb për palën e dytë të shifrave, etj.
Hapi 4. Kuptoni marrëdhënien midis kësaj metode dhe ndarjes së gjatë
Kjo metodë e gjetjes së rrënjës katrore është në thelb një problem i gjatë i ndarjes që ndan numrin tuaj fillestar me rrënjën katrore, duke ju dhënë rrënjën katrore të përgjigjes. Ashtu si në problemin e ndarjes së gjatë, ju jeni të interesuar vetëm për shifrën tjetër në çdo hap. Në këtë mënyrë, ju jeni të interesuar vetëm për dy shifrat e ardhshme në secilin hap (që është shifra tjetër në secilin hap për rrënjën katrore).
Hapi 5. Gjeni numrin më të madh vlera katrore e të cilit është më e vogël ose e barabartë me Sa.
Shifra e parë e A në përgjigjen tonë është numri i plotë më i madh vlera katrore e të cilit nuk e kalon Sa (dmth A në mënyrë që A² Sa <(A+1)). Në shembullin tonë, S.a = 7, dhe 2² 7 <3², pra A = 2.
Vini re se, për shembull, nëse dëshironi të ndani 88962 me 7 duke përdorur ndarjen e gjatë, hapat e parë janë pothuajse të njëjtë: do të shihni shifrën e parë të 88962 (që është 8) dhe po kërkoni shifrën më të madhe i cili, kur shumëzohet me 7, është më i vogël ose i barabartë me 8 Në thelb, ju po kërkoni d në mënyrë që 7 × d 8 <7 × (d+1). Në këtë rast, d do të jetë e barabartë me 1
Hapi 6. Imagjinoni vlerën e sheshit zona e së cilës do të filloni të punoni
Përgjigja juaj, rrënja katrore e numrit tuaj fillestar, është P, e cila përshkruan gjatësinë e katrorit me zonën S (numri juaj fillestar). Notat tuaja për A, B, C, përfaqësojnë shifrat në vlerën e P. Një mënyrë tjetër për ta thënë këtë është 10A + B = P (për një përgjigje dyshifrore), 100A + 10B + C = P (për një tre- përgjigje me shifra), etj.
Në shembullin tonë, (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²Me Mos harroni se 10A+B përfaqëson përgjigjen tonë, P, me B në pozicionin njëshe dhe A në pozicionin e dhjetëra. Për shembull, me A = 1 dhe B = 2, atëherë 10A+B është e barabartë me 12. (10A+B) është sipërfaqja e përgjithshme e sheshit, ndërsa 100A² është zona e sheshit më të madh në të, B² është zona e katrorit më të vogël në të, dhe 10A × B është zona e dy drejtkëndëshave të mbetur. Duke bërë këtë proces të gjatë dhe të ndërlikuar, ne gjejmë sipërfaqen e përgjithshme të një sheshi duke shtuar sipërfaqet e shesheve dhe drejtkëndëshave brenda.
Hapi 7. Zbrit A² nga S.a.
Zvogëloni një palë shifra (S.b) të S. Vlera e Sa Sb afër sipërfaqes së përgjithshme të sheshit, të cilën sapo e keni përdorur për të zbritur sheshin më të madh të brendshëm. Pjesa e mbetur mund të mendohet si numri N1, të cilin e morëm në hapin 4 (N1 = 380 në shembullin tonë). N1 është e barabartë me 2 herë: 10A × B + B² (zona e dy drejtkëndëshave plus sipërfaqja e katrorit më të vogël).
Hapi 8. Gjeni N1 = 2 × 10A × B + B², i cili gjithashtu është shkruar si N1 = (2 × 10A + B) × B
Në shembullin tonë, ju tashmë i njihni N1 (380) dhe A (2), kështu që ju duhet të gjeni B. B ka shumë të ngjarë të mos jetë një numër i plotë, kështu që ju me të vërtetë duhet të gjeni numrin e plotë B më të madh që (2 × 10A + B) × B N1. Pra ju keni: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Hapi 9. Përfundoni
Për të zgjidhur këtë ekuacion, shumëzoni A me 2, zhvendosni rezultatin në pozicionin e dhjetësheve (ekuivalenti i shumëzimit me 10), vendosni B në pozicionin njësh dhe shumëzoni numrin me B. Me fjalë të tjera, zgjidhni (2 × 10A + B) × B. Kjo është pikërisht ajo që bëni kur shkruani "N_ × _ =" (me N = 2 × A) në kuadrantin e poshtëm të djathtë në hapin 4. Në hapin 5, gjeni numrin e plotë B më të madh që korrespondon me numri poshtë tij në mënyrë që (2 × 10A + B) B N1.
Hapi 10. Zbritni sipërfaqen (2 × 10A + B) × B nga sipërfaqja e përgjithshme
Kjo zbritje rezulton në zonën S- (10A+B) ² që nuk është llogaritur (dhe e cila do të përdoret për të llogaritur shifrën tjetër në të njëjtën mënyrë).
Hapi 11. Për të llogaritur shifrën tjetër, C, përsëritni procesin
Ulni palën tjetër (S.c) e S për të marrë N2 në të majtë, dhe gjeni C-në më të madhe në mënyrë që të keni (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (ekuivalent me shkrimin dyfish të numrit dyshifror "AB" e ndjekur nga "_ × _ =". Gjeni shifrën më të madhe që përputhet në vendet bosh, e cila jep një përgjigje më të vogël ose të barabartë me N2, si më parë.
Këshilla
- Lëvizja e një pike dhjetore me shumëfishin e dy shifrave në një numër (shumëfish i 100), nënkupton lëvizjen e një pike dhjetore me një shumëfish të një shifre në rrënjën e saj katrore (shumëfish i 10).
- Në këtë shembull, 1.73 mund të konsiderohet një "mbetje": 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
- Kjo metodë mund të përdoret për çdo bazë, jo vetëm për bazën 10 (dhjetore).
- Ju mund të përdorni llogaritjen që është më i përshtatshëm për ju. Disa njerëz e shkruajnë rezultatin mbi numrin fillestar.
- Një mënyrë alternative e përdorimit të thyesave të përsëritura është ndjekja e kësaj formule: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Për shembull, për të llogaritur rrënjën katrore të 780, 14, numri i plotë vlera katrore e të cilit është më e afërta me 780, 14 është 28, pra z = 780, 14, x = 28, dhe y = -3, 86. Duke futur vlerat dhe duke llogaritur vlerësimet vetëm për x + y/(2x) jep (në terma më të thjeshtë) 78207/20800 ose rreth 27, 931 (1); mandati tjetër, 4374188/156607 ose afërsisht 27, 930986 (5). Çdo term shton rreth 3 vende dhjetore në saktësinë e numrit të mëparshëm të vendeve dhjetore.
