Dy thyesa janë ekuivalente nëse kanë të njëjtën vlerë. Të dish të shndërrosh thyesat në format ekuivalente të tyre është një aftësi jashtëzakonisht e rëndësishme matematikore, e nevojshme për të gjitha format e matematikës nga algjebra bazë në llogaritjen e avancuar. Ky artikull do të ofrojë disa mënyra për të llogaritur thyesat ekuivalente nga shumëzimi dhe pjesëtimi bazë në mënyra më komplekse të zgjidhjes së ekuacioneve ekuivalente të pjesshëm.
Hapi
Metoda 1 nga 5: Rregullimi i thyesave ekuivalente
Hapi 1. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër
Dy thyesa të ndryshme por ekuivalente kanë, sipas përkufizimit, një numërues dhe emërues që janë shumëfish të njëri -tjetrit. Me fjalë të tjera, shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me të njëjtin numër do të prodhojë thyesa ekuivalente. Edhe pse numrat në thyesën e re do të jenë të ndryshëm, thyesat do të kenë të njëjtën vlerë.
- Për shembull, nëse marrim thyesën 4/8 dhe shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me 2, marrim (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Këto dy thyesa janë ekuivalente.
- (4 × 2)/(8 × 2) është në të vërtetë e njëjtë me 4/8 × 2/2. Mos harroni se kur shumëzojmë dy thyesa, ne shumëzojmë drejt, që do të thotë numërues me numërues dhe emërues me emërues.
- Vini re se 2/2 është e barabartë me 1 nëse bëni pjesëtimin. Kështu, është më e lehtë të kuptohet pse 4/8 dhe 8/16 janë ekuivalente sepse shumëzimi 4/8 × (2/2) = mbetet 4/8. Në të njëjtën mënyrë, është njësoj si të thuash 4/8 = 8/16.
- Çdo thyesë e dhënë ka një numër të pafund thyesash ekuivalente. Ju mund të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me çdo numër të plotë, pavarësisht nga madhësia ose i vogël, për të marrë një thyesë ekuivalente.
Hapi 2. Ndaj numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër
Ashtu si shumëzimi, pjestimi gjithashtu mund të përdoret për të gjetur një thyesë të re që është ekuivalente me thyesën tuaj origjinale. Thjesht ndani numëruesin dhe emëruesin e një thyese me të njëjtin numër për të marrë thyesën ekuivalente. Ky proces ka një pengesë - thyesa e fundit duhet të ketë numra të plotë si në numërues ashtu edhe në emërues për të qenë të vërteta.
Për shembull, le të shikojmë prapa në 4/8. Nëse, në vend që të shumëzojmë, ndajmë edhe numëruesin edhe emëruesin me 2, marrim (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 dhe 4 janë numra të plotë, kështu që këto thyesa ekuivalente janë të vërteta
Metoda 2 nga 5: Përdorimi i Shumëzimit Bazë për të Përcaktuar Barazinë
Hapi 1. Gjeni numrin që duhet të shumëzohet me emëruesin më të vogël për të marrë emëruesin më të madh
Shumë probleme në lidhje me thyesat përfshijnë përcaktimin nëse dy thyesa janë ekuivalente. Duke llogaritur këtë numër, mund të filloni të barazoni termat thyesorë për të përcaktuar barazinë.
- Për shembull, ripërdorni thyesat 4/8 dhe 8/16. Emëruesi më i vogël është 8 dhe ne duhet të shumëzojmë numrin me 2 për të marrë emëruesin më të madh, i cili është 16. Pra, numri në këtë rast është 2.
- Për numra më të vështirë, mund të ndani emëruesin më të madh me emëruesin më të vogël. Në këtë rast, 16 ndahet me 8, e cila akoma jep 2.
- Numri nuk është gjithmonë një numër i plotë. Për shembull, nëse emëruesit janë 2 dhe 7, atëherë numri është 3, 5.
Hapi 2. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës që ka termin më të vogël me numrin nga hapi i parë
Dy thyesa të ndryshme por ekuivalente kanë, sipas përkufizimit, numërues dhe emërues të cilët janë shumëfish të njëri -tjetritMe Me fjalë të tjera, shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me të njëjtin numër do të prodhojë një thyesë ekuivalente. Edhe pse numrat në këtë thyesë të re do të jenë të ndryshëm, këto thyesa do të kenë të njëjtën vlerë.
Për shembull, nëse përdorim thyesën 4/8 nga hapi i parë dhe shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me numrin që kemi përcaktuar më parë, që është 2, marrim (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16Me Ky rezultat dëshmon se këto dy thyesa janë ekuivalente.
Metoda 3 nga 5: Përdorimi i Ndarjes Bazë për Përcaktimin e Barazisë
Hapi 1. Numërojeni çdo thyesë si numër dhjetor
Për thyesat e thjeshta pa ndryshore, ju mund të përfaqësoni çdo thyesë si një numër dhjetor për të përcaktuar barazinë. Meqenëse çdo fraksion është në të vërtetë një problem i ndarjes, kjo është mënyra më e thjeshtë për të përcaktuar barazinë.
- Për shembull, përdorni thyesën që kemi përdorur më parë, 4/8. Pjesa 4/8 është ekuivalente me thënien 4 të ndarë me 8, që është 4/8 = 0.5. Ju gjithashtu mund të zgjidhni shembullin tjetër, i cili është 8/16 = 0.5. Pavarësisht nga termat në një thyesë, thyesa është ekuivalente nëse të dy numrat janë të njëjtë kur përfaqësohen në dhjetore.
- Mbani në mend se shprehjet dhjetore mund të kenë shifra të shumta para se barazia të jetë e qartë. Si shembull bazë, 1/3 = 0.333 përsëritet ndërsa 3/10 = 0.3. Duke përdorur më shumë se një shifër, shohim se këto dy thyesa nuk janë ekuivalente.
Hapi 2. Ndaj numëruesin dhe emëruesin e një thyese me të njëjtin numër për të marrë një thyesë ekuivalente
Për thyesat më komplekse, metoda e ndarjes kërkon hapa shtesë. Ndërsa me shumëzimin, ju mund të ndani numëruesin dhe emëruesin e një thyese me të njëjtin numër për të marrë një thyesë ekuivalente. Ekziston një pengesë për këtë proces. Pjesa përfundimtare duhet të ketë numra të plotë si në numërues ashtu edhe në emërues për të qenë të vërtetë.
Për shembull, le të shikojmë prapa në 4/8. Nëse, në vend të shumëzimit, ndajmë numëruesin dhe emëruesin me 2, marrim (4 2)/(8 2) = 2/4Me 2 dhe 4 janë numra të plotë, kështu që këto thyesa ekuivalente janë të vërteta.
Hapi 3. Thjeshtoni thyesat në termat e tyre më të thjeshtë
Shumica e thyesave zakonisht shkruhen në termat e tyre më të thjeshtë, dhe ju mund t'i shndërroni thyesat në formën e tyre më të thjeshtë duke u ndarë me faktorin më të madh të përbashkët (GCF). Ky hap bëhet në të njëjtën logjikë si shkrimi i thyesave ekuivalente, duke i kthyer ato në të njëjtin emërues, por kjo metodë përpiqet të thjeshtojë secilën thyesë në termat e saj më të vegjël të mundshëm.
- Kur një thyesë është në formën e tij më të thjeshtë, numëruesi dhe emëruesi kanë vlerat më të vogla të mundshme. Të dy nuk mund të ndahen me asnjë numër të plotë për të marrë vlerën më të vogël. Për të shndërruar një thyesë që nuk është në formën e tij më të thjeshtë në formën e tij më të thjeshtë ekuivalente, ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin me faktorin e tyre më të madh të përbashkët.
-
Faktori më i madh i përbashkët (GCF) i numëruesit dhe emëruesit është numri më i madh që i ndan ata për të dhënë një rezultat të plotë. Pra, në shembullin tonë 4/8, sepse
Hapi 4. është numri më i madh që ndahet me 4 dhe 8, ne do të ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës sonë me 4 për të marrë termat më të thjeshtë. (4 4)/(8 4) = 1/2Me Për shembullin tonë tjetër, 8/16, GCF është 8, e cila gjithashtu kthen vlerën 1/2 si shprehja më e thjeshtë e një thyese.
Metoda 4 nga 5: Përdorimi i produkteve të kryqëzuara për të gjetur ndryshore
Hapi 1. Rregulloni dy thyesat në mënyrë që ato të jenë të barabarta me njëra -tjetrën
Ne përdorim shumëzimin kryq për problemet e matematikës ku e dimë se thyesat janë ekuivalente, por një nga numrat është zëvendësuar me një ndryshore (zakonisht x) që duhet të zgjidhim. Në raste të tilla, ne e dimë se këto thyesa janë ekuivalente sepse ato janë termat e vetëm në anën tjetër të shenjës së barazimit, por shpesh mënyra për të gjetur ndryshoren nuk është e qartë. Për fat të mirë, me shumëzimin kryq, zgjidhja e këtyre llojeve të problemeve është e lehtë.
Hapi 2. Merrni dy thyesa ekuivalente dhe shumëzojini ato me një formë "X"
Me fjalë të tjera, ju shumëzoni numëruesin e një thyese me emëruesin e një thyese tjetër dhe anasjelltas, pastaj rregulloni dy përgjigjet që të përputhen me njëra -tjetrën dhe të zgjidhen.
Merrni dy shembujt tanë, 4/8 dhe 8/16. Asnjëra nuk ka një ndryshore, por ne mund ta vërtetojmë konceptin sepse tashmë e dimë se ato janë ekuivalente. Duke shumëzuar kryq, marrim 4/16 = 8 x 8, ose 64 = 64, që është e vërtetë. Nëse këta dy numra nuk janë të barabartë, atëherë thyesat nuk janë ekuivalente
Hapi 3. Shto ndryshore
Meqenëse shumëzimi kryq është mënyra më e lehtë për të përcaktuar thyesat ekuivalente kur duhet të gjeni ndryshore, le të shtojmë ndryshore.
-
Për shembull, le të përdorim ekuacionin 2/x = 10/13. Për të kaluar shumëzimin, shumëzojmë 2 me 13 dhe 10 me x, pastaj i vendosim përgjigjet tona të barabarta me njëra -tjetrën:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Nga këtu, gjetja e përgjigjes për ndryshoren tonë është një problem i thjeshtë algjebër. x = 26/10 = 2, 6, duke e bërë thyesën ekuivalente fillestare 2/2, 6 = 10/13.
Hapi 4. Përdorni shumëzimin kryq për thyesat me shumë ndryshore ose shprehjet e ndryshueshme
Një nga gjërat më të mira në lidhje me shumëzimin kryq është se në të vërtetë funksionon në të njëjtën mënyrë, pavarësisht nëse jeni duke punuar me dy thyesa të thjeshta (si më sipër) ose thyesa më komplekse. Për shembull, nëse të dy thyesat kanë ndryshore, ju duhet vetëm t'i eliminoni këto ndryshore në procesin e zgjidhjes. Në mënyrë të ngjashme, nëse numëruesi ose emëruesi i fraksionit tuaj ka një shprehje të ndryshueshme (si x + 1), thjesht "shumëzojeni" duke përdorur vetinë shpërndarëse dhe zgjidhni si zakonisht.
-
Për shembull, le të përdorim ekuacionin ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). Në këtë rast, si më sipër, ne do ta zgjidhim atë me produkt kryq:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, atëherë mund ta thjeshtojmë thyesën duke zbritur 2x nga të dyja anët
- 2 = 2x + 12, atëherë izolojmë ndryshoren duke zbritur 12 nga të dy anët
- -10 = 2x, dhe ndajeni me 2 për të gjetur x
- - 5 = x
Metoda 5 nga 5: Përdorimi i formulave kuadratike për të gjetur ndryshore
Hapi 1. Kryqëzoni dy thyesat
Për problemet e barazisë që kërkojnë një formulë kuadratike, ne ende fillojmë duke përdorur produktin kryq. Sidoqoftë, çdo produkt kryq që përfshin shumëzimin e termave të një ndryshoreje me kushtet e një ndryshoreje tjetër ka të ngjarë të rezultojë në një shprehje që nuk mund të zgjidhet lehtë duke përdorur algjebër. Në raste si këto, ju mund të keni nevojë të përdorni teknika të tilla si faktorizimi dhe/ose formula kuadratike.
-
Për shembull, le të shohim ekuacionin ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Së pari, le të kryqëzohemi duke shumëzuar:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Hapi 2. Shkruani ekuacionin si një ekuacion kuadratik
Në këtë pjesë, ne duam ta shkruajmë këtë ekuacion në formë kuadratike (sëpatë2 + bx + c = 0), të cilën e bëjmë duke vendosur ekuacionin të barabartë me zero. Në këtë rast, ne zbresim 12 nga të dy anët për të marrë 2x2 - 14 = 0.
Disa vlera mund të jenë të barabarta me 0. Edhe pse 2x2 - 14 = 0 është forma më e thjeshtë e ekuacionit tonë, ekuacioni kuadratik real është 2x2 + 0x + (-14) = 0. Mund të jetë e dobishme në fillim të shkruani formën e ekuacionit kuadratik edhe nëse disa vlera janë të barabarta me 0.
Hapi 3. Zgjidhni duke futur numrat nga ekuacioni juaj kuadratik në formulën kuadratike
Formula kuadratike (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) do të na ndihmojë të gjejmë vlerën tonë x në këtë seksion. Mos kini frikë nga gjatësia e formulës. Thjesht merrni vlerat nga ekuacioni juaj kuadratik në hapin dy dhe i vendosni në vendet e duhura para se t'i zgjidhni ato.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. Në ekuacionin tonë, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0, dhe c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = = +/- 2, 64
Hapi 4. Kontrolloni përgjigjen tuaj duke futur përsëri vlerën e x në ekuacionin tuaj kuadratik
Duke e futur vlerën e llogaritur x përsëri në ekuacionin tuaj kuadratik nga hapi i dytë, ju lehtë mund të përcaktoni nëse e keni marrë përgjigjen e duhur. Në këtë shembull, ju do të lidhni 2, 64 dhe -2, 64 në ekuacionin kuadratik origjinal.
Këshilla
- Shndërrimi i një thyese në ekuivalentin e saj është në fakt një formë e shumëzimit të një thyese me 1. Në shndërrimin e 1/2 në 2/4, shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit me 2 është i njëjtë me shumëzimin e 1/2 me 2/2, që është e barabartë me 1 Me
-
Nëse dëshironi, shndërroni numrin e përzier në një thyesë të zakonshme për ta bërë konvertimin më të lehtë. Sigurisht, jo të gjitha thyesat që hasni do të jenë aq të lehta sa konvertimi i shembullit tonë 4/8 më sipër. Për shembull, numrat e përzier (të tillë si 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etj.) Mund ta bëjnë procesin e konvertimit pak më të komplikuar. Nëse duhet të konvertoni një numër të përzier në një thyesë të zakonshme, mund ta bëni këtë në dy mënyra: duke e kthyer numrin e përzier në një thyesë të zakonshme, pastaj duke e konvertuar atë si zakonisht, ose duke ruajtur formën e numrave të përzier dhe duke marrë përgjigje në formën e numrave të përzier.
- Për t'u kthyer në një thyesë të zakonshme, shumëzoni përbërësin e plotë të numrit të përzier me emëruesin e përbërësit thyesor dhe më pas shtoni në numërues. Për shembull, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Pastaj, nëse dëshironi, mund ta ndryshoni sipas nevojës. Për shembull, 5/3 × 2/2 = 10/6, e cila mbetet e barabartë me 1 2/3.
- Sidoqoftë, ne nuk duhet ta konvertojmë atë në një fraksion të zakonshëm si më sipër. Përndryshe, ne e lëmë vetëm përbërësin e plotë, ndryshojmë vetëm përbërësin thyesor dhe shtojmë përbërësin e plotë të pandryshuar. Për shembull, për 3 4/16, ne shohim vetëm 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Pra, duke shtuar përbërësit tanë të plotë, marrim një numër të ri të përzier, 3 1/4.
Paralajmërim
- Shumëzimi dhe pjesëtimi mund të përdoren për të marrë thyesa ekuivalente sepse shumëzimi dhe pjesëtimi me formën thyesore të numrit 1 (2/2, 3/3, etj.) Jep një përgjigje që është ekuivalente me thyesën origjinale, sipas përkufizimit. Mbledhja dhe zbritja nuk mund të përdoren.
-
Edhe pse shumëzoni numëruesit dhe emëruesit kur shumëzoni thyesat, nuk shtoni ose zbritni emëruesit kur shtoni ose zbritni thyesa.
Për shembull, më lart, ne e dimë se 4/8 4/4 = 1/2. Nëse i mbledhim me 4/4, marrim një përgjigje krejtësisht të ndryshme. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ose 3/2, ato nuk janë të barabarta me 4/8.
