3 mënyra për të faktuar një Trinomial

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-01-15 08:24

Një trinom është një shprehje algjebrike e përbërë nga tre terma. Me shumë mundësi, do të filloni të mësoni se si të faktoni një trinom kuadratik, që do të thotë një trinom i shkruar në formën sëpatë² + bx + c Ka disa truke për të mësuar, të cilat mund të përdoren për shumë lloje të ndryshme të trinomeve kuadratikë, por do të jeni në gjendje t'i përdorni ato më mirë dhe më shpejt me praktikë. Polinome të rendit më të lartë, me terma si x³ ose x⁴, nuk mund të zgjidhet gjithmonë në të njëjtën mënyrë, por shpesh mund të përdorni faktorizim të thjeshtë ose zëvendësim për ta kthyer atë në një problem që mund të zgjidhet si çdo formulë tjetër kuadratike.

Hapi

Metoda 1 nga 3: Faktorizimi x² + bx + c

Hapi 1. Mësoni shumëzimin PLDT

Ju mund të keni mësuar se si të shumëzoni PLDT, ose "Së pari, jashtë, brenda, e fundit" për të shumëzuar shprehje si (x+2) (x+4). Usefulshtë e dobishme të dimë se si funksionon ky shumëzim para se të faktorizojmë:

• Shumëzoni fiset Së pari: (x+2)(x+4) = x² + _

• Shumëzoni fiset Jashtë: (x+2) (x+

  Hapi 4.) = x²+ 4x + _

• Shumëzoni fiset Në: (x+

  Hapi 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Shumëzoni fiset Përfundimtare: (x+

  Hapi 2.) (x

  Hapi 4.) = x²+4x+2x

  Hapi 8.

• Thjeshtoni: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Hapi 2. Kuptoni faktoringun

Kur shumëzoni dy binoma duke përdorur metodën PLDT, ju merrni një trinom (një shprehje me tre terma) në formën a x²+ b x+ c, ku a, b dhe c janë numra të zakonshëm. Nëse filloni me një ekuacion që ka të njëjtën formë, mund ta faktoni përsëri në dy binome.

• Nëse ekuacionet nuk janë shkruar në këtë mënyrë, rirregulloni ekuacionet në mënyrë që ata të kenë këtë rend. Për shembull, rishkruani 3x - 10 + x² Bëhet x² + 3x - 10.
• Sepse fuqia më e lartë është 2 (x², ky lloj i shprehjes quhet kuadratik.

Hapi 3. Lini një hapësirë bosh për përgjigjen në formën e shumëzimit PLDT

Tani për tani, thjesht shkruani (_ _)(_ _) ku do të shkruani përgjigjen. Ne do ta mbushim atë ndërsa punojmë në të

Mos shkruani + ose - midis termave bosh sepse nuk e dimë ende shenjën e saktë

Hapi 4. Plotësoni termat e parë

Për probleme të thjeshta, termi i parë i trinomit tuaj është vetëm x², kushtet në pozicionin e Parë janë gjithmonë x dhe xMe Këta janë faktorët e termit x² sepse x herë x = x².

• Shembulli ynë x² + 3x - 10 duke filluar me x², kështu që ne mund të shkruajmë:
• (x _) (x _)
• Ne do të punojmë në probleme më komplekse në seksionin tjetër, duke përfshirë trinomët duke filluar me terma si 6x² ose -x²Me Ndërkohë, ndiqni këto pyetje shembull.

Hapi 5. Përdorni faktorizimin për të supozuar kushtet e fundit

Nëse ktheheni dhe lexoni hapat se si të shumëzoni PLDT, do të shihni se shumëzimi i termave të fundit do të prodhojë termin e fundit në polinom (terma që nuk kanë x). Pra, për të faktorizuar, duhet të gjejmë dy numra të cilët kur shumëzohen do të prodhojnë termin e fundit.

• Në shembullin tonë x² + 3x - 10, termi i fundit është -10.
• Cilët janë faktorët e -10? Cili numër shumëzohet me -10?
• Ekzistojnë disa mundësi: -1 herë 10, 1 herë -10, -2 herë 5, ose 2 herë -5. Shkruani këto çifte diku për t'i kujtuar ato.
• Mos e ndryshoni përgjigjen tonë akoma. Përgjigja jonë ende duhet të duket kështu: (x _) (x _).

Hapi 6. Testoni mundësitë që përputhen me produktin e jashtëm dhe të brendshëm

Ne i kemi ngushtuar kushtet e fundit në disa mundësi. Përdorni sistemin e provës për të testuar çdo mundësi, duke shumëzuar termat e jashtëm dhe të brendshëm dhe duke e krahasuar produktin me trinomin tonë. Për shembull:

• Problemi ynë origjinal kishte termin "x" në 3x, kështu që rezultatet tona të testit duhet të përputhen me këtë term.
• Testet -1 dhe 10: (x -1) (x+10). Jashtë + Brenda = 10x - x = 9x. E gabuar.
• Testet 1 dhe -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Kjo eshte e gabuar. Në fakt, nëse testoni -1 dhe 10, do të zbuloni se 1 dhe -10 janë e kundërta e përgjigjes së mësipërme: -9x në vend të 9x.
• Testet -2 dhe 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Rezultati korrespondon me polinomin fillestar, kështu që këtu është përgjigjja e saktë: (x-2) (x+5).
• Në raste të thjeshta si kjo, nëse nuk keni një konstante para termit x², mund të përdorni mënyrën e shpejtë: thjesht shtoni dy faktorët dhe vendosni një "x" pas tij (-2+5 → 3x). Sidoqoftë, kjo metodë nuk funksionon për probleme më komplekse, kështu që është më mirë të mbani mend "rrugën e gjatë" të përshkruar më sipër.

Metoda 2 nga 3: Faktorizimi i Trinomialeve Më komplekse

Hapi 1. Përdorni faktorizimin e thjeshtë për t'i bërë problemet më komplekse më të thjeshta

Për shembull, ju duhet të faktorizoni 3x² + 9x - 30Me Gjeni një numër që mund të faktorizojë të tre termat ("faktori më i madh i përbashkët" ose GCF). Në këtë rast, GCF është 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Kështu, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Ne mund të përcaktojmë trinomin e ri duke përdorur hapat në pjesën e mësipërme. Përgjigja jonë përfundimtare do të jetë (3) (x-2) (x+5).

Hapi 2. Kërkoni faktorë më ndërlikues

Ndonjëherë, faktorizimi mund të përfshijë një ndryshore, ose mund t'ju duhet të faktorizoni disa herë për të gjetur shprehjen më të thjeshtë të mundshme. Ketu jane disa shembuj:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2v)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Mos harroni të rifaktoroni trinomin e ri, duke përdorur hapat në Metodën 1. Kontrolloni punën tuaj dhe kërkoni shembuj të problemeve të ngjashme në mostrat e pyetjeve pranë fundit të kësaj faqe.

Hapi 3. Zgjidh problemet me një numër para x².

Disa trinomë kuadratikë nuk mund të reduktohen në llojin më të lehtë të problemit. Mësoni si të zgjidhni probleme si 3x² + 10x + 8, pastaj praktikoni vetë me pyetjet mostër në fund të kësaj faqe:

• Vendosni që përgjigja jonë të jetë: (_ _)(_ _)
• Termat tanë "të Parë" do të kenë secili një x, dhe shumëzimi i tyre jep 3x²Me Ekziston vetëm një mundësi: (3x _) (x _).
• Listoni faktorët e 8. Shanset janë 1 herë 8 ose 2 herë 4.
• Provoni këtë mundësi duke përdorur termat e jashtëm dhe të brendshëm. Vini re se rendi i faktorëve është shumë i rëndësishëm sepse termi i jashtëm shumëzohet me 3x në vend të x. Provoni çdo mundësi derisa të dilni Out+In = 10x (nga problemi origjinal):
• (3x+1) (x+8) 24x+x = 25x jo
• (3x+8) (x+1) 3x+8x = 11x jo
• (3x+2) (x+4) 12x+2x = 14x jo
• (3x+4) (x+2) 6x+4x = 10x poMe Ky është faktori i saktë.

Hapi 4. Përdorni zëvendësimin për trinomët e rendit më të lartë

Libri juaj i matematikës mund t'ju befasojë me ekuacione me fuqi të larta, të tilla si x⁴, edhe pasi të përdorni faktorizimin e thjeshtë për ta bërë më të lehtë problemin. Provoni të zëvendësoni një ndryshore të re që e kthen atë në një problem që dini ta zgjidhni. Për shembull:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Le të krijojmë një ndryshore të re. Le të themi y = x² dhe vendos në të:
• (x) (y²+13v+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Tani, kthejeni atë në ndryshoren fillestare:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3 nga 3: Faktorizimi i Rasteve Speciale

Hapi 1. Gjeni numrat e thjeshtë

Shikoni për të parë nëse konstantja në termin e parë ose të tretë të trinomit është një numër i thjeshtë. Një numër i thjeshtë ndahet vetëm në vetvete dhe 1, kështu që ekziston vetëm një palë faktorë binomikë të mundshëm.

• Për shembull, në x² + 6x + 5, 5 është një numër i thjeshtë, kështu që binomi duhet të jetë i formës (_ 5) (_ 1).
• Në problemin e 3x²+10x+8, 3 është një numër i thjeshtë, kështu që binomi duhet të jetë i formës (3x _) (x _).
• Për pyetje 3x²+4x+1, të dy 3 dhe 1 janë numra të thjeshtë, kështu që zgjidhja e vetme e mundshme është (3x+1) (x+1). (Ju ende duhet ta shumëzoni këtë numër për të kontrolluar përgjigjen tuaj sepse disa shprehje nuk mund të faktorizohen fare - për shembull, 3x²+100x+1 nuk ka faktor.)

Hapi 2. Zbuloni nëse trinomi është një katror i përsosur

Një trinom katror i përsosur mund të faktorizohet në dy binome identikë, dhe faktori zakonisht shkruhet si (x+1)² dhe jo (x+1) (x+1). Këtu janë disa shembuj që priren të shfaqen në pyetje:

• x²+2x+1 = (x+1)², dhe x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)², dhe x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)², dhe x²-6x+9 = (x-3)²
• Trinomi katror i përsosur në formën a x² + bx + c gjithmonë ka terma a dhe c që janë katrorë të përsosur pozitivë (si 1, 4, 9, 16, ose 25) dhe një term b (pozitiv ose negativ) i cili është i barabartë me 2 (√a * √c) Me

Hapi 3. Zbuloni nëse një problem nuk ka zgjidhje

Jo të gjithë trinomët mund të faktorizohen. Nëse nuk mund të faktoni një trinom kuadratik (sëpatë²+bx+c), përdorni formulën kuadratike për të gjetur përgjigjen. Nëse përgjigja e vetme është rrënja katrore e një numri negativ, nuk ka zgjidhje të numrave realë, atëherë problemi nuk ka faktorë.

Për trinomët jo katrorë, përdorni Kriterin Eisenstein, i cili përshkruhet në seksionin Këshilla

Përgjigje dhe Pyetje Shembull

1. Përgjigjet e pyetjeve të "faktorizimit të komplikuar".

   Këto janë pyetje nga hapi i "faktorëve më të ndërlikuar". Ne i kemi thjeshtuar problemet në ato më të lehta, kështu që përpiquni t'i zgjidhni ato duke përdorur hapat në metodën 1, pastaj kontrolloni punën tuaj këtu:

   • (2v) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Provoni probleme më komplekse të faktorizimit.

   Këto probleme kanë të njëjtin faktor në secilin term i cili duhet të faktorizohet së pari. Bllokoni boshllëqet pas shenjës së barazimit për të parë përgjigjet në mënyrë që të kontrolloni punën tuaj:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) bllokoni vendin bosh për të parë përgjigjen
   • -5x³y²+30x²y²-25 vjeç²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Praktikoni duke përdorur pyetjeMe Këto probleme nuk mund të faktorizohen në ekuacione më të lehta, kështu që do të duhet të gjesh përgjigjen në formën (_x + _) (_ x + _) duke përdorur provën dhe gabimin:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) bllokoni për të parë përgjigjen
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Këshillë: Ju mund të dëshironi të provoni më shumë se një palë faktorësh për 9x.)

   Këshilla

   • Nëse nuk mund të kuptoni se si të faktoni një trinom kuadratik (sëpatë²+bx+c), mund të përdorni formulën kuadratike për të gjetur x.

   • Ndërsa nuk keni nevojë të dini se si ta bëni këtë, mund të përdorni Kriteret e Eisenstein për të përcaktuar shpejt nëse një polinom nuk mund të thjeshtohet dhe faktorizohet. Ky kriter vlen për çdo polinom, por përdoret më së miri për trinomët. Nëse ekziston një numër i thjeshtë p që ndan dy termat e fundit në mënyrë të barabartë dhe plotëson kushtet e mëposhtme, atëherë polinomi nuk mund të thjeshtohet:

     • Termat konstantë (pa ndryshore) janë shumëfish të p por jo shumëfish të p².
     • Parashtesa (për shembull, a në sëpatë²+bx+c) nuk është shumëfish i p.
     • Për shembull, 14 herë² +45x +51 nuk mund të thjeshtohet sepse ekziston një numër i thjeshtë (3) i cili mund të ndahet me 45 dhe 51, por jo i pjesëtueshëm me 14, dhe 51 nuk ndahet me 3².

   Paralajmërim

   Ndërsa kjo është e vërtetë për trinomët kuadratikë, trinomi që mund të faktorizohet nuk është domosdoshmërisht produkt i dy binomialeve. Për shembull, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).