Çdo funksion ka dy ndryshore, përkatësisht ndryshoren e pavarur dhe ndryshoren e varur. Fjalë për fjalë vlera e ndryshores së varur "varet" nga ndryshorja e pavarur. Për shembull, në funksionin y = f (x) = 2 x + y, x është ndryshorja e pavarur dhe y është ndryshorja e varur (me fjalë të tjera, y është një funksion i x). Vlerat e vlefshme për ndryshoren e njohur x quhen "domene të origjinës". Vlerat e vlefshme për ndryshoren e njohur y quhen "diapazoni i rezultateve".
Hapi
Pjesa 1 nga 3: Gjetja e fushës së një funksioni
Hapi 1. Vendosni se çfarë lloj funksioni do të kryeni
Fusha e funksionit është të gjitha vlerat x (boshti horizontal) që do të kthejnë vlerat e vlefshme y. Ekuacioni i funksionit mund të jetë një kuadratik, një thyesë ose të përmbajë një rrënjë. Për të llogaritur fushën e funksionit, gjëja e parë që duhet të bëni është të ekzaminoni ndryshoret në ekuacion.
- Një funksion kuadratik ka formën e sëpatës2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Shembuj të funksioneve me thyesa përfshijnë: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), dhe të tjerët.
- Funksionet që kanë rrënjë përfshijnë: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, dhe kështu me radhë.
Hapi 2. Shkruani fushën me shënimin e duhur
Shkrimi i fushës së një funksioni përfshin përdorimin e kllapave katrore [,] si dhe kllapa (,). Përdorni kllapa katrore [,] nëse numri i përket domenit dhe përdorni kllapa (,) nëse domeni nuk përfshin numrin. Shkronja U tregon një bashkim që lidh pjesë të fushës që mund të ndahen me një distancë.
- Për shembull, fusha e [-2, 10) U (10, 2] përfshin -2 dhe 2, por nuk përfshin numrin 10.
- Përdorni gjithmonë kllapa () nëse përdorni simbolin e pafundësisë,.
Hapi 3. Vizatoni një grafik të ekuacionit kuadratik
Ekuacionet kuadratike prodhojnë një grafik parabolik që hapet lart ose poshtë. Duke marrë parasysh që parabola do të vazhdojë pafundësinë në boshtin x, fusha e shumicës së ekuacioneve kuadratike janë të gjithë numrat realë. E thënë ndryshe, një ekuacion kuadratik përfshin të gjitha vlerat x në vijën numerike, duke dhënë domenin R (simbol për të gjithë numrat real).
- Për të zgjidhur funksionin, zgjidhni çdo vlerë x dhe futeni atë në funksion. Zgjidhja e një funksioni me një vlerë x do të kthejë një vlerë y. Vlerat e x dhe y janë koordinatat (x, y) të një grafiku të funksionit.
- Hartoni këto koordinata në një grafik dhe përsëritni procesin me një vlerë tjetër x.
- Hartimi i disa prej vlerave në këtë model do t'ju japë një pasqyrë të formës së funksionit kuadratik.
Hapi 4. Nëse ekuacioni i funksionit është një thyesë, bëjeni emëruesin të barabartë me zero
Kur punoni me thyesa, nuk mund të ndani kurrë me zero. Duke e bërë emëruesin të barabartë me zero dhe duke gjetur vlerën e x, ju mund të llogaritni vlerat që nxirren nga funksioni.
- Për shembull: Përcaktoni fushën e funksionit f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Emëruesi i funksionit është (x - 1).
- Bëni emëruesin të barabartë me zero dhe llogaritni vlerën e x: x - 1 = 0, x = 1.
- Shkruani fushën: Fusha e funksionit nuk përfshin 1, por përfshin të gjithë numrat realë përveç 1; prandaj, fusha është (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) mund të lexohet si një koleksion i të gjithë numrave realë përveç 1. Simboli për pafundësinë,, përfaqëson të gjithë numrat realë. Në këtë rast, të gjithë numrat realë më të mëdhenj se 1 dhe më pak se 1 përfshihen në domen.
Hapi 5. Nëse ekuacioni është një funksion rrënjë, bëni ndryshoret rrënjë më të mëdha ose të barabarta me zero
Ju nuk mund të përdorni rrënjën katrore të një numri negativ; prandaj, çdo vlerë x që çon në një numër negativ duhet të hiqet nga domeni i funksionit.
- Për shembull: Gjeni fushën e funksionit f (x) = (x + 3).
- Variablat në rrënjë janë (x + 3).
- Bëni vlerën më të madhe ose të barabartë me zero: (x + 3) 0.
- Llogarit vlerën për x: x -3. Zgjidh për x: x -3.
- Fusha e funksionit përfshin të gjithë numrat realë më të mëdhenj ose të barabartë me -3; prandaj, domeni është [-3,].
Pjesa 2 nga 3: Gjetja e diapazonit të një ekuacioni kuadratik
Hapi 1. Sigurohuni që keni një funksion kuadratik
Funksioni kuadratik ka formën e sëpatës2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Grafiku i funksionit kuadratik është një parabolë që hapet lart ose poshtë. Ka mënyra të ndryshme për të llogaritur gamën e funksionit në varësi të llojit të funksionit në të cilin po punoni.
Mënyra më e lehtë për të përcaktuar gamën e funksioneve të tjera, të tilla si një funksion rrënjë ose një funksion thyesë, është të grafikoni funksionin duke përdorur një llogaritës grafik
Hapi 2. Gjeni vlerën x të kulmit të funksionit
Kulmi i një funksioni kuadratik është kulmi i parabolës. Mos harroni, forma e funksionit kuadratik është sëpatë2 + bx + c Për të gjetur koordinatën x përdorni ekuacionin x = -b/2a. Ekuacioni është një derivat i një funksioni kuadratik bazë që përfaqëson një ekuacion me një pjerrësi/pjerrësi zero (në kulmin e grafikut, gradienti i funksionit është zero).
- Për shembull, gjeni gamën e 3x2 + 6x -2.
- Llogaritni koordinatën x të kulmit: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Hapi 3. Llogaritni vlerën y të kulmit të funksionit
Lidhni koordinatën x në funksion për të llogaritur vlerën përkatëse y të kulmit. Kjo vlerë y tregon kufirin e gamës së funksionit.
- Njehsoni koordinatën y: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Kulmi i këtij funksioni është (-1, -5).
Hapi 4. Përcaktoni drejtimin e parabolës duke futur të paktën një vlerë tjetër x
Zgjidhni çdo vlerë tjetër x dhe futeni në funksion për të llogaritur vlerën e duhur y. Nëse vlera y është mbi kulmin, parabola vazhdon të +. Nëse vlera y është nën kulmin, parabola do të vazhdojë në -∞.
- Përdorni vlerën x -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Kjo llogaritje kthen koordinatat (-2, -2).
- Këto koordinata ju tregojnë se parabola vazhdon mbi kulmin (-1, -5); prandaj, diapazoni përfshin të gjitha vlerat y më të larta se -5.
- Gama e këtij funksioni është [-5,].
Hapi 5. Shkruani gamën me shënimin e duhur
Ashtu si domenet, vargjet shkruhen me të njëjtin shënim. Përdorni kllapa katrore [,] nëse numri është në rang dhe përdorni kllapa (,) nëse diapazoni nuk përfshin numrin. Shkronja U tregon një bashkim që lidh pjesë të diapazonit që mund të ndahen me një distancë.
- Për shembull, diapazoni i [-2, 10) U (10, 2] përfshin -2 dhe 2, por nuk përfshin numrin 10.
- Përdorni gjithmonë kllapa nëse përdorni simbolin e pafundësisë,.
Pjesa 3 nga 3: Gjetja e diapazonit nga grafiku i një funksioni
Hapi 1. Vizatoni funksionin
Shpesh, mënyra më e lehtë për të përcaktuar gamën e një funksioni është grafikimi i tij. Shumë funksione rrënjësore kanë një diapazon (-∞, 0] ose [0, +∞) sepse kulmi i parabolës horizontale (parabolë anash) është në boshtin horizontal x. Në këtë rast, funksioni përfshin të gjitha vlerat pozitive y nëse parabola hapet, ose të gjitha vlerat negative y nëse parabola hapet poshtë. Funksionet thyesore do të kenë asimptota (linja që nuk priten kurrë nga një vijë / kurbë e drejtë, por që afrohen në pafundësi) që përcaktojnë gamën e funksionit.
- Disa funksione rrënjësore do të fillojnë mbi ose nën boshtin x. Në këtë rast, diapazoni përcaktohet nga numri ku fillon funksioni rrënjë. Nëse parabola fillon me y = -4 dhe shkon lart atëherë diapazoni është [-4, +∞).
- Mënyra më e lehtë për të vizatuar një funksion është përdorimi i një programi grafik ose llogaritësi grafik.
- Nëse nuk keni një llogaritës grafik, mund të vizatoni një skicë të përafërt të grafikut duke futur vlerën x në funksion dhe duke marrë vlerën e duhur y. Hartoni këto koordinata në një grafik për të marrë një ide se si duket grafiku.
Hapi 2. Gjeni vlerën minimale të funksionit
Menjëherë pas vizatimit të funksionit, duhet të jeni në gjendje të shihni qartë pikën më të ulët të grafikut. Nëse nuk ka një vlerë minimale të qartë, dijeni që disa funksione do të vazhdojnë në -∞ (pafundësi).
Funksioni i fraksionit do të përfshijë të gjitha pikat përveç atyre në asimptotat. Funksioni ka një diapazon si (-∞, 6) U (6,)
Hapi 3. Përcaktoni vlerën maksimale të funksionit
Përsëri, pas vizatimit të grafikut, duhet të jeni në gjendje të identifikoni pikën maksimale të funksionit. Disa funksione do të vazhdojnë në +∞ dhe për këtë arsye, nuk do të kenë një vlerë minimale.
Hapi 4. Shkruani gamën me shënimin e duhur
Ashtu si domenet, vargjet shkruhen me të njëjtin shënim. Përdorni kllapa katrore [,] nëse numri është në rang dhe përdorni kllapa (,) nëse diapazoni nuk përfshin numrin. Shkronja U tregon një bashkim që lidh pjesë të diapazonit që mund të ndahen me një distancë.
- Për shembull, diapazoni i [-2, 10) U (10, 2] përfshin -2 dhe 2, por nuk përfshin numrin 10.
- Përdorni gjithmonë kllapa nëse përdorni simbolin e pafundësisë,.
