Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh kërkon që ju të gjeni vlerat e disa ndryshoreve në disa ekuacione. Ju mund të zgjidhni një sistem ekuacionesh përmes mbledhjes, zbritjes, shumëzimit ose zëvendësimit. Nëse doni të dini se si të zgjidhni një sistem ekuacionesh, thjesht ndiqni këto hapa.
Hapi
Metoda 1 nga 4: Zgjidhja me zbritje
Hapi 1. Shkruani njërin ekuacion mbi tjetrin
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me zbritje është një mënyrë e shkëlqyeshme kur shihni se të dy ekuacionet kanë ndryshore me të njëjtët koeficientë me të njëjtën shenjë. Për shembull, nëse të dy ekuacionet kanë një ndryshore pozitive 2x, duhet të përdorni metodën e zbritjes për të gjetur vlerën e të dy variablave.
- Shkruani një ekuacion mbi një tjetër duke përafruar ndryshoret x dhe y dhe numrat e tyre të plotë. Shkruani shenjën e zbritjes jashtë sasisë së dy sistemeve të ekuacioneve.
-
Shembull: Nëse dy ekuacionet tuaja janë 2x + 4y = 8 dhe 2x + 27 = 2, atëherë duhet të shkruani ekuacionin e parë mbi të dytin, me shenjën e zbritjes jashtë sasisë së sistemit të dytë, duke treguar se do të zbritni secilën pjesë e ekuacionit.
- 2x + 4y = 8
- -(2x + 2y = 2)
Hapi 2. Zbritni pjesë të barabarta
Tani që i keni rreshtuar dy ekuacionet, gjithçka që duhet të bëni është të zbritni pjesët e barabarta. Ju mund të zbritni pjesët një nga një:
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
-
8 - 2 = 6
2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
Hapi 3. Bëni pjesën tjetër
Nëse keni eliminuar njërën prej variablave duke marrë një përgjigje prej 0 kur zbritni ndryshoret me të njëjtin koeficient, ju duhet vetëm të zgjidhni variablat e mbetur duke zgjidhur ekuacionet e zakonshme. Ju mund të hiqni 0 nga ekuacioni pasi nuk do të ndryshojë vlerën e tij.
- 2y = 6
- Ndani 2y dhe 6 me 2 për të marrë y = 3
Hapi 4. Lidheni vlerën e gjetur në një nga ekuacionet për të gjetur një vlerë tjetër
Tani që e dini se y = 3, ju vetëm duhet ta lidhni atë në një nga ekuacionet origjinale për të gjetur vlerën e x. Nuk ka rëndësi se cilin ekuacion zgjidhni sepse përgjigja do të jetë e njëjtë. Nëse një ekuacion duket më i komplikuar se tjetri, thjesht futeni atë në ekuacionin më të thjeshtë.
- Futni y = 3 në ekuacionin 2x + 2y = 2 dhe gjeni vlerën e x.
- 2x + 2 (3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
-
x = - 2
Ju keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve duke përdorur zbritjen. (x, y) = (-2, 3)
Hapi 5. Kontrolloni përgjigjet tuaja
Për t'u siguruar që keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve në mënyrë korrekte, mund t'i lidhni të dy përgjigjet tuaja në të dy ekuacionet për t'u siguruar që përgjigja është e saktë për të dy ekuacionet. Ja si ta bëni:
-
Futeni (-2, 3) për vlerën e (x, y) në ekuacionin 2x + 4y = 8.
- 2(-2) + 4(3) = 8
- -4 + 12 = 8
- 8 = 8
-
Futeni (-2, 3) për vlerën e (x, y) në ekuacionin 2x + 2y = 2.
- 2(-2) + 2(3) = 2
- -4 + 6 = 2
- 2 = 2
Metoda 2 nga 4: Zgjidhja me Shtesë
Hapi 1. Shkruani njërin ekuacion mbi tjetrin
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me mbledhje është rruga për të parë nëse shihni që të dy ekuacionet kanë ndryshore me të njëjtët koeficientë që kanë shenja të kundërta. Për shembull, nëse njëra nga ekuacionet ka një ndryshore prej 3x dhe ekuacioni tjetër ka një ndryshore prej -3x, atëherë metoda e shtimit është mënyra e duhur.
- Shkruani një ekuacion mbi një tjetër duke përafruar ndryshoret x dhe y dhe numrat e tyre të plotë. Shkruani shenjën e mbledhjes jashtë sasisë së sistemit të dytë të ekuacioneve.
-
Shembull: Nëse dy ekuacionet tuaja janë 3x + 6y = 8 dhe x - 6y = 4, atëherë duhet të shkruani ekuacionin e parë mbi të dytin, me shenjën e shtimit jashtë sasisë së sistemit të dytë, duke treguar se do të shtoni çdo pjesë të ekuacionit.
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
Hapi 2. Shtoni pjesët e barabarta
Tani që i keni rreshtuar dy ekuacionet, gjithçka që duhet të bëni është të shtoni pjesët e barabarta. Ju mund t'i shtoni ato një nga një:
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
-
Kur i kombinoni ato, do të merrni rezultatin tuaj të ri:
- 3x + 6y = 8
- +(x - 6y = 4)
- = 4x+ 0 = 12
Hapi 3. Bëni pjesën tjetër
Nëse keni eleminuar njërën prej variablave duke marrë 0 kur shtoni variablat me të njëjtin koeficient, ju duhet vetëm të zgjidhni variablat e mbetur duke zgjidhur ekuacionin e zakonshëm. Ju mund të hiqni 0 nga ekuacioni pasi nuk do të ndryshojë vlerën e tij.
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- Ndani 4x dhe 12 me 3 për të marrë x = 3
Hapi 4. Futeni përsëri rezultatin në ekuacion për të gjetur një vlerë tjetër
Tani që e dini që x = 3, ju vetëm duhet ta lidhni atë në një nga ekuacionet origjinale për të gjetur vlerën e y. Nuk ka rëndësi se cilin ekuacion zgjidhni, sepse rezultati do të jetë i njëjtë. Nëse një ekuacion duket më i ndërlikuar se tjetri, thjesht lidheni atë në atë më të thjeshtë.
- Futni x = 3 në ekuacionin x - 6y = 4 për të gjetur vlerën e y.
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
-
Ndani -6y dhe 1 me -6 për të marrë y = -1/6
Ju keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve duke përdorur mbledhjen. (x, y) = (3, -1/6)
Hapi 5. Kontrolloni përgjigjet tuaja
Për t'u siguruar që keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve në mënyrë korrekte, thjesht duhet t'i lidhni vlerat në të dy ekuacionet për t'u siguruar që përgjigjet e të dy ekuacioneve janë të sakta. Ja si ta bëni:
-
Futeni (3, -1/6) për vlerën (x, y) në ekuacionin 3x + 6y = 8.
- 3(3) + 6(-1/6) = 8
- 9 - 1 = 8
- 8 = 8
-
Futeni (3, -1/6) për vlerën (x, y) në ekuacionin x - 6y = 4.
- 3 - (6 * -1/6) =4
- 3 - - 1 = 4
- 3 + 1 = 4
- 4 = 4
Metoda 3 nga 4: Zgjidhja me shumëzim
Hapi 1. Shkruani njërin ekuacion mbi tjetrin
Shkruani një ekuacion mbi një tjetër duke i rreshtuar variablat x dhe y dhe numrat e plotë. Nëse përdorni metodën e shumëzimit, asnjë nga ndryshoret nuk ka të njëjtin koeficient - ende jo.
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
Hapi 2. Shumëzoni një ose të dy ekuacionet derisa njëra nga ndryshoret nga të dyja pjesët të ketë të njëjtin koeficient
Tani, shumëzoni një ose të dy ekuacionet me të njëjtin numër, gjë që do të bëjë që njëra prej ndryshoreve të ketë të njëjtin koeficient. Në këtë problem, ju mund të shumëzoni të gjithë ekuacionin e dytë me 2 në mënyrë që ndryshorja –y të bëhet -2y dhe të jetë e barabartë me koeficientin y të ekuacionit të parë. Ja si ta bëni:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
Hapi 3. Shtoni ose zbritni ekuacionet
Tani, aplikoni mbledhje ose zbritje për të dy ekuacionet duke përdorur një metodë që do të eliminojë ndryshoret me të njëjtët koeficientë. Meqenëse doni të zgjidhni 2y dhe -2y, duhet të përdorni metodën e shtimit sepse 2y + -2y është e barabartë me 0. Nëse problemi juaj është 2y dhe pozitiv 2y, atëherë do të përdorni zbritjen. Ja se si të përdorni metodën e shtimit për të eleminuar një nga ndryshoret:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
Hapi 4. Bëni pjesën tjetër
Thjesht zgjidheni atë për të gjetur vlerën e ndryshores që nuk keni lënë jashtë. Nëse 7x = 14, atëherë x = 2.
Hapi 5. Lidheni vlerën në ekuacion për të gjetur një vlerë tjetër
Lidheni vlerën në njërin nga ekuacionet origjinale për të gjetur tjetrin. Zgjidhni një ekuacion më të thjeshtë për ta bërë më të lehtë.
- x = 2 - 2x - y = 2
- 4 - y = 2
- -y = -2
- y = 2
- Ju keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve duke përdorur shumëzimin. (x, y) = (2, 2)
Hapi 6. Kontrolloni përgjigjet tuaja
Për të kontrolluar përgjigjen tuaj, thjesht lidhni dy vlerat që keni gjetur në ekuacionin origjinal për t'u siguruar që keni gjetur vlerat e sakta.
- Futeni (2, 2) për vlerën e (x, y) në ekuacionin 3x + 2y = 10.
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- Futeni (2, 2) për vlerën e (x, y) në ekuacionin 2x - y = 2.
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2
Metoda 4 nga 4: Zgjidhja me zëvendësim
Hapi 1. Rreshtoni një nga ndryshoret
Metoda e zëvendësimit është metoda e saktë nëse një nga koeficientët e njërit prej ekuacioneve është i barabartë me një. Atëherë, gjithçka që duhet të bëni është të izoloni koeficientin e atij ndryshoreje në njërin nga ekuacionet për të gjetur vlerën e tij.
- Nëse jeni duke punuar në ekuacionin 2x + 3y = 9 dhe x + 4y = 2, do të dëshironi të izoloni x në ekuacionin e dytë.
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
Hapi 2. Futeni vlerën e ndryshores që keni vetëm në një ekuacion tjetër
Merrni vlerën që keni gjetur kur izoluat ndryshoren dhe zëvendësoni ndryshoren në ekuacionin që nuk e ndryshuat me atë vlerë. Ju nuk do të jeni në gjendje të zgjidhni asgjë nëse e lidhni përsëri në ekuacionin që keni ndryshuar. Ja çfarë të bëni:
- x = 2 - 4y 2x + 3y = 9
- 2 (2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = - 1
Hapi 3. Zgjidhni ndryshoret e mbetura
Tani që e dini se y = -1, thjesht futeni atë vlerë në një ekuacion më të thjeshtë për të gjetur vlerën e x. Ja si e bëni këtë:
- y = -1 x = 2 - 4y
- x = 2 - 4 (-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- Ju e keni zgjidhur sistemin e ekuacioneve me zëvendësim. (x, y) = (6, -1)
Hapi 4. Kontrolloni punën tuaj
Për t'u siguruar që jeni duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve në mënyrë korrekte, thjesht duhet t'i lidhni dy përgjigjet tuaja në të dy ekuacionet për t'u siguruar që ato të dyja janë të sakta. Ja si ta bëni:
-
Futeni (6, -1) për vlerën (x, y) në ekuacionin 2x + 3y = 9.
- 2(6) + 3(-1) = 9
- 12 - 3 = 9
- 9 = 9
- Futeni (6, -1) për vlerën (x, y) në ekuacionin x + 4y = 2.
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2
