Teorema e Pitagorës përshkruan gjatësinë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë në një mënyrë elegante dhe praktike, kështu që kjo teoremë përdoret akoma gjerësisht edhe sot. Kjo teoremë thotë se për çdo trekëndësh kënddrejtë, shuma e katrorëve të brinjëve pa kënd është e barabartë me katrorin e hipotenuzës. Me fjalë të tjera, për një trekëndësh kënddrejtë me brinjë pingul a dhe b dhe hipotenuzë c, a2 + b2 = c2.
Teorema e Pitagorës është një nga shtyllat themelore të gjeometrisë elementare. Ka aplikime të panumërta që përdorin këtë teoremë, për shembull, për ta bërë më të lehtë gjetjen e distancës midis dy pikave në një plan koordinativ.
Hapi
Metoda 1 nga 2: Gjetja e anëve të një trekëndëshi kënddrejtë
Hapi 1. Sigurohuni që trekëndëshi juaj të jetë një trekëndësh kënddrejtë
Teorema e Pitagorës zbatohet vetëm për trekëndëshat kënddrejtë, kështu që, para se të vazhdoni, është shumë e rëndësishme të siguroheni që trekëndëshat tuaj të jenë në përputhje me vetitë e trekëndëshave kënddrejtë. Për fat të mirë, ekziston një faktor që mund të tregojë se trekëndëshi juaj është një trekëndësh kënddrejtë. Trekëndëshi juaj duhet të ketë një kënd prej 90 gradë.
Si shenjë, trekëndëshat kënddrejtë shpesh shënohen me katrorë të vegjël për të shënuar këndet 90 gradë, duke mos përdorur "kthesa" të lakuara. Shikoni për këtë shenjë të veçantë në cep të trekëndëshit tuaj
Hapi 2. Jepni ndryshoret a, b dhe c për anët e trekëndëshit tuaj
Në Teoremën e Pitagorës, variablat a dhe b përfaqësojnë brinjët që takohen në trekëndëshin e drejtë, ndërsa ndryshorja c përfaqëson hipotenuzën - ana e gjatë përballë këndit të drejtë. Pra, për të filluar, shënoni anët e shkurtra të trekëndëshit tuaj me ndryshoret a dhe b (nuk ka rëndësi nëse i ndërroni ato) dhe shënoni hipotenuzën me ndryshoren c.
Hapi 3. Vendosni cilën anë të trekëndëshit dëshironi të zgjidhni
Teorema e Pitagorës i lejon matematikanët të gjejnë gjatësinë e çdo ane të një trekëndëshi kënddrejtë për aq kohë sa ata i dinë gjatësitë e dy brinjëve të tjera. Përcaktoni se cila anë është e panjohur - a, b dhe/ose c. Nëse gjatësia e njërës prej anëve tuaja është e panjohur, ju jeni gati për të vazhduar.
- Për shembull, ne e dimë se gjatësia e hipotenuzës së një trekëndëshi është 5 dhe gjatësia e njërës prej brinjëve të tjera është 3, por nuk jemi të sigurt për gjatësinë e brinjës së tretë. Në këtë rast, ne e dimë se po kërkojmë gjatësinë e anës së tretë, dhe meqenëse i dimë gjatësitë e dy të tjerëve, mund ta zgjidhim! Ne do të punojmë për këtë problem me hapat e mëposhtëm.
- Nëse nuk i dini gjatësitë e dy anëve, duhet të njihni njërën nga anët për të qenë në gjendje të përdorni Teoremën e Pitagorës. Funksionet themelore trigonometrike mund t'ju ndihmojnë nëse njihni njërën anë të një trekëndëshi që nuk është e pjerrët.
Hapi 4. Futni vlerat e dyanshme që tashmë i njihni në ekuacion
Futni gjatësinë e brinjëve të trekëndëshit tuaj në ekuacionin a2 + b2 = c2Me Mos harroni se a dhe b janë anët jo të pjerrëta, ndërsa c është hipotenuza.
Në shembullin tonë, ne e dimë gjatësinë e njërës nga anët dhe hipotenuzën (3 & 5), kështu që ekuacioni bëhet 3² + b² = 5²
Hapi 5. Sheshi
Për të zgjidhur ekuacionin tuaj, filloni duke katrorizuar anët e njohura. Përndryshe, nëse e shihni këtë më të lehtë, mund t'i lini gjatësitë e anëve tuaja në katror dhe t'i katrorizoni ato më vonë.
-
Në shembullin tonë, ne do të katror 3 dhe 5 në mënyrë që të marrim
Hapi 9. da
Hapi 25. Me Mund ta shkruajmë ekuacionin si 9 + b² = 25.
Hapi 6. Zhvendosni ndryshoren e panjohur në anën tjetër të ekuacionit
Nëse është e nevojshme, përdorni operacionet bazë algjebrike për të bërë që ndryshorja e panjohur të lëvizë në anën tjetër të ekuacionit dhe katrori i dy ndryshoreve të tjera në anën tjetër. Nëse doni të gjeni gjatësinë e hipotenuzës, c është tashmë në anën tjetër të ekuacionit, kështu që nuk keni nevojë të bëni asgjë për ta lëvizur atë.
Në shembullin tonë, ekuacioni aktual është 9 + b² = 25. Për të lëvizur b², zbritni të dy anët e ekuacionit me 9, kështu që rezultati është b² = 16
Hapi 7. Rrënja katrore e të dy anëve të ekuacionit
Tani vetëm një ndryshore katrorizohet në njërën anë dhe numër në anën tjetër. Rrënja katrore e të dy anëve për të gjetur gjatësinë e anës së panjohur.
-
Në shembullin tonë, b² = 16, marrja e rrënjës katrore të të dy anëve jep b = 4. Kështu, mund të themi se gjatësia e anës së panjohur të trekëndëshit është
Hapi 4..
Hapi 8. Përdorni Teoremën e Pitagorës për të gjetur anët e një trekëndëshi të vërtetë të drejtë
Arsyeja pse teorema e Pitagorës përdoret gjerësisht sot është se mund të zbatohet në situata të panumërta praktike. Mësoni të njihni trekëndëshat kënddrejtë në jetën reale - në çdo situatë kur dy objekte ose vija të drejta takojnë një kënd të drejtë dhe objekti ose vija e tretë bashkon dy objektet ose linjat diagonalisht, atëherë mund të përdorni Teoremën e Pitagorës për të gjetur gjatësinë e anës tjetra, nëse dihen gjatësitë e dy anëve të tjera.
-
Le të provojmë një shembull të vërtetë që është pak më i vështirë. Një shkallë mbështetet në një ndërtesë. Distanca nga fundi i shkallëve në mur është 5 metra. Lartësia e shkallëve arrin 20 metra. Sa e gjatë është shkalla?
-
5 metra nga muri dhe 20 metra e lartë na tregon gjatësinë e anëve të trekëndëshit. Meqenëse muri dhe toka (supozohet) formojnë një kënd të drejtë dhe shkalla mbështetet diagonalisht në mur, ky rregullim mund të konsiderohet një trekëndësh kënddrejtë me gjatësi anësore a = 5 dhe b = 20. Gjatësia e shkallës është hipotenuzë, kështu që vlera e c nuk është e njohur. Le të përdorim teoremën e Pitagorës:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- rrënjë (425) = c
- c = 20.6. Gjatësia e përafërt e shkallës është 20.6 metra.
-
Metoda 2 nga 2: Llogaritja e distancës midis dy pikave në rrafshin X-Y
Hapi 1. Gjeni dy pika në rrafshin X-Y
Teorema e Pitagorës mund të përdoret lehtë për të llogaritur distancën e vijës së drejtë midis dy pikave në rrafshin X-Y. E tëra çfarë ju duhet të dini janë koordinatat x dhe y të dy pikave. Zakonisht, këto koordinata shkruhen së bashku në formën (x, y).
Për të gjetur distancën midis këtyre dy pikave, ne do ta konsiderojmë secilën pikë si një nga këndet jo të drejtë të një trekëndëshi kënddrejtë. Duke vepruar kështu do të jetë e lehtë të gjesh gjatësinë e brinjëve a dhe b, dhe pastaj të llogarisësh hipotenuzën c, e cila është distanca midis dy pikave
Hapi 2. Vizatoni dy pikat tuaja në figurë
Në një plan të rregullt X-Y, secila pikë (x, y), x përfaqëson një koordinatë horizontale dhe y përfaqëson një koordinatë vertikale. Ju mund të gjeni distancën midis dy pikave pa e vizatuar atë, por duke bërë kështu do t'ju japë një imazh vizual që mund ta përdorni për të parë nëse përgjigja juaj është e saktë.
Hapi 3. Gjeni gjatësinë e anës jo të pjerrët të trekëndëshit tuaj
Duke përdorur dy pikat si këndet e trekëndëshit ngjitur me hipotenuzën, gjeni gjatësinë e brinjëve a dhe b të trekëndëshit. Ju mund ta bëni këtë duke përdorur një imazh ose duke përdorur formulën | x1 - x2| për anën horizontale dhe | y1 - y2| për anën vertikale, me (x1, y1) si pika e parë dhe (x2, y2) si pika e dytë.
-
Le të jenë dy pikat tona (6, 1) dhe (3, 5). Gjatësia e anës horizontale të trekëndëshit tonë është:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Hapi 3.
-
Gjatësia e anës vertikale është:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Hapi 4.
- Pra, në trekëndëshin tonë të drejtë, brinja a = 3 dhe ana b = 4.
Hapi 4. Përdorni Teoremën e Pitagorës për të gjetur gjatësinë e hipotenuzës
Distanca midis dy pikave është gjatësia e hipotenuzës së trekëndëshit, dy anët e të cilit sapo i gjetët. Përdorni Teoremën e Pitagorës për të gjetur hipotenuzën, ku a është gjatësia e anës së parë dhe b është gjatësia e anës së dytë.
-
Në shembullin tonë, ne po përdorim pikat (3, 5) dhe (6, 1) gjatësia e anëve të të cilave është 3 dhe 4, kështu që mund të gjejmë hipotenuzën si më poshtë:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = rrënjë (9+16)
- c = rrënjë (25)
-
c = 5. Distanca midis (3, 5) dhe (6, 1) është
Hapi 5.
-
Këshilla
-
Hipotenuza është gjithmonë:
- përballë këndit të duhur (pa prekur këndin e duhur)
- ana më e gjatë në një trekëndësh kënddrejtë
- i quajtur c në teoremën e Pitagorës
- rrënja (x) nënkupton rrënjën katrore të x.
- Mos harroni të kontrolloni gjithmonë përgjigjet tuaja. Nëse përgjigja juaj duket e gabuar, provoni përsëri dhe provoni përsëri.
- Nëse trekëndëshi nuk është një trekëndësh kënddrejtë, keni nevojë për informacion shtesë, jo vetëm gjatësinë e dy brinjëve të tjera.
- Një mënyrë tjetër e kontrollimit - ana më e gjatë është përballë këndit më të madh dhe ana më e shkurtër është përballë këndit më të vogël.
- Shifrat janë çelësi për të shkruar vlerat e sakta për a, b dhe c. Nëse jeni duke punuar në një problem historie, sigurohuni që ta shkruani problemin në formën e figurës së pari.
- Nëse e dini vetëm gjatësinë e njërës anë, Teorema e Pitagorës nuk funksionon. Provoni të përdorni trigonometri (sin, cos, tan) ose raportet 30-60-90 / 45-45-90.
